| solucao | dia | y |
|---|---|---|
| S1 | D1 | 13 |
| S1 | D2 | 22 |
| S1 | D3 | 18 |
| S1 | D4 | 39 |
| S2 | D1 | 16 |
| S2 | D2 | 24 |
| S2 | D3 | 17 |
| S2 | D4 | 44 |
| S3 | D1 | 5 |
| S3 | D2 | 4 |
| S3 | D3 | 1 |
| S3 | D4 | 22 |
Delineamento em Blocos Completos Aleatorizados (DBCA)
Estatística Experimental
Delineamento em Blocos Aleatorizados
Um tutorial sobre o delineamento em Blocos Completos e sua análise utilizando a linguagem R.
Conceitos Básicos
Os conceitos a seguir foram baseados em Casella (2008).
A unidade experimental, como o nome indica, é a unidade básica do experimento, e define a unidade a ser replicada para aumentar os graus de liberdade. Na definição de unidade experimental, a frase “atribuída aleatoriamente” é de importância crucial.
O princípo da repetição permite obter a variação entre unidades experimentais, ou seja, permite obter uma estimativa do erro experimental.
A ideia básica da aleatorização é que, dado um delineamento, a atribuição das unidades experimentais aos tratamentos deve ser escolhida aleatoriamente, com igual probabilidade, entre todas as atribuições possíveis. Essa estratégia resulta em uma amostra aleatória simples.
A atribuição aleatória de unidades experimentais a tratamentos deve resultar nos seguintes resultados desejáveis:
Eliminação de viés sistemático. O viés vem em muitas formas, e algumas delas são desconhecidas. Alguns exemplos são gradientes de luz ou temperatura, tendência de entrevistador em pesquisas e outras ocorrências. A aleatorização é uma maneira de quebrar um efeito sistemático.
Obtenção de uma amostra representativa. O objetivo final em qualquer experimento é fazer uma inferência válida para uma população, portanto, os dados devem ser representativos dessa população. A aleatorização é necessária para se obter uma amostra representativa.
Controla variáveis ou fatores de confundimento
Fatores de confundimento existem em todas os experimentos. Por exemplo, considere um experimento com seres humanosp para testar o efeito de dietas na pressão arterial, medida em 12 indivíduos. Embora possamos recrutar sujeitos com um estado geral de saúde semelhante, fatores de confundimento como estilo de vida, raça, disposição genética ou muitos outros fatores podem influenciar os resultados.
Apesar de ser possível controlar alguns fatores de confundmento, tal como raça, outros fatores são incontroláveis, e até mesmo desconhecidos, como a disposição genética. A aleatorização ajudará a distribuir essa variação desconhecida ao longo do experimento, quebrando a influência do fator de confundimento.
Visão Geral
Em muitas situações sabemos que as unidades experimentais não são homogêneas, e fazer o uso explícito da estrutura especial das unidades experimentais geralmente ajuda a reduzir o erro experimental (Meier (2022)).
Em um curso de estatística básica, aprendemos como aplicar o teste t emparelhado. Esse teste é utilizado em situações em que dois tratamentos são aplicados no mesmo “objeto” ou “sujeito”. Pense, por exemplo, na aplicação de dois tratamentos, em paralelo, em seres humanos, como a aplicação de dois tipos de colírios diferentes, cada um aplicado em um dos dois olhos.
Sabemos que os indivíduos podem ser muito diferentes, mas devido ao fato de aplicarmos ambos os tratamentos no mesmo indivíduo, obtemos uma imagem clara do efeito do tratamento em cada indivíduo, tomando a diferença dos valores da variável resposta correspondentes aos dois tratamentos.
Isso faz com que a variabilidade de sujeito para sujeito seja muito reduzida. Também dizemos que bloqueamos os sujeitos ou que um sujeito individual é um bloco.
Sob uma abordagem mais geral, conforme Montgomery (2001), podemos afirmar que em qualquer experimento, a variabilidade proveniente de um fator de perturbação pode afetar os resultados.
Em geral, definimos um fator de perturbação como um fator do delineamento que, provavelmente tem um efeito sobre a variável resposta (y), mas em cujo efeito o experimentador não está interessado. Assim, a variabilidade que ele pode transmitir para a variável resposta deve ser minimizada.
Em alguns experimentos, o fator de perturbação é desconhecido e incontrolável, isto é, não sabemos se o fator está afetando a variável resposta e se os seus níveis são os mesmos durante a realização do experimento. O princípio da experimentação que denominamos aleatorização é a técnica que permite ao experimentador proteger o experimento desse fator de perturbação à espreita.
Em outros casos, o fator de perturbação é conhecido, mensurável, mas incontrolável. Se o experimentador conseguir pelo menos observar os valores desse fator em cada execução do experimento, ele pode ser incorporado na análise pela técnica denominada Análise de Covariância
Quando o fator de perturbação da variabilidade é conhecido e controlável, o experimentador utiliza a técnica denominada blocagem para minimizar ou reduzir sistematicamente seu efeito sobre as comparações das médias dos tratamentos. A blocagem é uma técnica de experimentação extremamente importante e usada extensivamente.
Fatores de perturbação, conhecidos e controláveis, são chamados de blocos. O objetivo da blocagem é tornar um ambiente heterogêneo em subambientes homogêneos.
Fatores de perturbação (blocos) típicos incluem localização, o tempo, se um experimento é realizado em diferentes períodos de tempo (dia, semestre, ano etc.), pessoas, etc.
Em inglês, um delineamento em blocos completamente aleatorizados (DBCA) pode ser traduzidp por Randomized Complete Block Design (RCBD). O que significa cada termo?
Randomized: os tratamentos sáo atribuídos aleatoriamente dentro de cada bloco.
Complete: Todos os tratamentos estão presentes em todos os bloco e cada tratamento é utilizado o mesmo número de vezes, geralmente uma vez, dentro de cada bloco.
Block: as unidades experimentais são agrupadas de forma a criar subgrupos homogênos.
Design: É o seu experimento.
DBCA: Modelo Linear Normal - Efeitos Fixos.
O modelo estatístico linear associado a um DBCA pode ser representado por,
y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \, \text{sendo}\, \epsilon_{ij} \sim i.i.d \quad N(0,\sigma^2) \begin{cases} i = 1,\ldots,a \\ j = 1,\ldots,b \end{cases} Sendo:
\mu = média global de y.
\tau_i = efeito em y_{i.} devido ao tratamento i. Ou seja, o efeito do tratamento i. Sáo também denominados como efeitos principais.
\beta_j = efeito (sem interesse) do bloco j.
y_{ij} = resposta observada na unidade j devida ao tratamento i.
\epsilon_{ij} = erro não observado (ou erro experimental).
O DBCA é um modelo linear, portanto, assume que entre os blocos e os níveis dos fatores.
DBCA: Tabela da Análise da Variância - Efeitos Fixos
\begin{array}{l|l|l|l|l} \hline \text{Fonte de Variação} & \text{gl} & \text{SQ} & \text{QM} & F_{calculado} \\ \hline \text{tratamentos} & a-1 & SQ_{tratamentos} & \frac{SQ_{tratamentos}}{a-1} & \frac{QM_{tratamentos}}{QM_{resíduos}} \\ \text{blocos} & b-1 & SQ_{blocos} & \frac{SQ_{blocos}}{b-1} & \\ \text{resíduo} & (a-1)(b-1) & SQ_{resíduo} & \frac{SQ_{resíduo}}{(a-1)(b-1)} & \\ \hline \text{total} & ab - 1 & SQ_{total} & & \\ \hline \end{array}F_{tabelado}=F_{\nu_1 = (a-1), \nu_2 = (a-1)(b-1)}.
Considerando que são a níveis do fator de interesse e b blocos. A hipótese de interesse é:
\begin{cases} H_o: & \mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_a \,\, \text{(as médias dos tratamentos são iguais)} \\ H_a: & \text{Pelo menos duas médias são diferentes} \end{cases}
Regras de Decisão do teste F:
Se F_{calculado} > F_{tabelado}, rejeitamos a hipótese nula de que as médias dos tratamentos são iguais, caso contrátio, náo rejeitamos a hipótese nula, dado o nível de significância \alpha escolhido.
Entretanto, a alternativa mais comum para interpretar o resultado do teste F é utilizar o valor-p do teste. Por exemplo, caso adote-se \alpha = 0.05 = 5%, a regra de decisão é:
Se valor-p < 0.05, o teste fornece evidência para rejeitar a hipótese nula de que as médias dos tratamentos são iguais.
Se valor-p > 0.05, o teste fornece evidência para rejeitar a hipótese nula de que as médias dos tratamentos são iguais.
Sumário das Principais Características de um DBC
Uso:
Apropriado quando se tem um fator de perturbação atuando sobre a variável resposta.
O ideal é que cada tratamento ocorra em cada bloco o mesmo número de vezes, usualmente uma vez.
Deve-se minimizar a variação dentro de cada bloco e maximizar a variação entre os blocos.
Vantagens:
Controla um fator de perturbação (conhecido e controlável) que pode atuar sobre a variável resposta (tempo, temperatura etc.), aumentando a precisão do experimento, ou seja, reduzindo o erro experimental.
Um DBCA pode acomodar qualquer número de tratamentos e qualquer número de blocos. Entretanto, o ideal é que cada tratamento seja replicado o mesmo número de vezes em cada bloco.
Utilizando blocos com diferentes condições, os resultados do experimento podem ter uma amplitude maior.
A análise estatística é simples.
Desvantagens:
Dados faltantes reduzem o poder dos testes e a cobertura dos intervalos de confiança.
Se existir mais de uma fator de perturbação, conhecido e controlável, a utilização do DBCA é ineficiente.
Se as condições experimentais forem de fato homogêneas, um delineamento inteiramente aleatorizado é mais eficiente que o DBCA.
Na medida em que aumenta-se o número de tratamentos, mais itens heterogêneos podem ser utilizados e a blocagem correta torna-se cada vez mais complexa, neste caso outros delineamentos podem ser mais eficientes.
Etapas da Análise de um DBCA
Estruturação e Importação do Arquivo de Dados.
Análise Exploratória dos Dados
Estimação do Modelo Linear Normal da ANOVA.
Diagnóstico do Modelo (verificar as hipóteses do modelo linear normal).
Comparações Múltiplas.
As etapas típicas da análise dos dados produzidos por um DBCA serão ilustradas pela resolução das questões (1 a 9) associadas ao seguinte experimento:
Análise
Vamos ilustrar a análise de dados de um experimento que utilizou um DBCA utilizando o seguinte experimento:
1. Identifique o bloco (fator de perturbação), o fator de interesse (tratamento) e seus níveis e a variável resposta deste experimento. Além disso, descreva o modelo linear do experimento.
Fator de Perturbação/Blocos: dias.
Fator de Interesse/Tratamento: soluções para lavagem de containers de leite.
Níveis do Fator de Interesse/Tratamento: As três soluções de lavagem distintas
variável Resposta (y)]: O crescimento, medido pela contagem, de bactérias
Sendo o crescimento (contagem) de bactérias a variável resposta e representada por y_{ij}, as solucões testadas os tratamentos e representados por sol, os quatro dias os blocos e representados por dia, podemos representar o modelo linear do experimento como:
y_{ij} = \mu + \tau_1 sol_{1} + \tau_2 sol_{2} + \tau_3 sol_{3} + \beta_{1}dia_{1} + \beta_{2}dia_{2} + \beta_{3}dia_{3} + \beta_{4}dia_{4} + \epsilon_{ij}
2. Estruturação e Importação do Arquivo de Dados
A estrutura correta de um arquivo de dados para o caso de um experimento que utilizou um DBCA é ilustrada a seguir:
Considerando que o script R que contém seus código para analisa os dados
estão em uma pasta qualquer contendo uma subpasta denominada dado que contem seu arquivo de dados, para importar, por exemplo, um arquivo texto separado por tabulações denominado solucao.txt, pode-se utilizar o seguinte código
# Pacotes utilizados
library(readr)
library(dplyr)
# Importando os dados
dados <- read_tsv("dados/solucao.txt", col_names = TRUE)
# Verificando os dados
glimpse(dados)Rows: 12
Columns: 3
$ solucao <chr> "S1", "S1", "S1", "S1", "S2", "S2", "S2", "S2", "S3", "S3", "S…
$ dia <chr> "D1", "D2", "D3", "D4", "D1", "D2", "D3", "D4", "D1", "D2", "D…
$ y <dbl> 13, 22, 18, 39, 16, 24, 17, 44, 5, 4, 1, 22Em experimentos, em geral, fatores (ou tratamentos) são variáveis categóricas, como usamos a linguagem R, é melhor converter o tratamento (solucao) e os blocos (dia) para a classe factor para efetuar a análise dos dados. Essa conversão pode ser obtida usando a função transmute do pacote dplyr:
# pacote utlizado
library(ggplot2)
dados <- dados %>% transmute(solucao = as.factor(solucao),
dia = as.factor(dia),
y = as.numeric(y))
glimpse(dados)Rows: 12
Columns: 3
$ solucao <fct> S1, S1, S1, S1, S2, S2, S2, S2, S3, S3, S3, S3
$ dia <fct> D1, D2, D3, D4, D1, D2, D3, D4, D1, D2, D3, D4
$ y <dbl> 13, 22, 18, 39, 16, 24, 17, 44, 5, 4, 1, 22Com esses passsos, os dados foram importados e estruturados em um formato adequado para a análise.
3. Faça uma Análise Exploratória dos Dados
Dica: Análise Exploratória dos Dados
Uma Análise Exploratória dos Dados com gráficos e estatísticas, é uma parte importante de qualquer análise para:
- entender as propriedades dos dados.
- estruturar os dados no formato adequado para análise.
- encontrar padrões nos dados.
- descrever os dados/fenômeno.
- identificar erros nos dados.
- sugerir estratégias de modelagem.
- depurar análises.
- comunicar resultados.
Um boxplot comparativo das distribuições é o gráfico exploratório usual para explorar dados envolvendo uma variável numérica e uma ou mais variáveis categóricas.
Entretanto, um boxplot requer uma amostra considerável (50 observações por grupo pelo menos), e caso seja utilizado em amostras pequenas, tende distorcer ou ocultar as propriedades da distribuição.
Para amostras menores, como a do experimento em questão um gráfico de violino (violin plot) é mais adequado e tende a retratar melhor as propriedades das distribuições por grupo (no caso, por tratamento).
Para produzir um gráfico de violino usando o pacote ggplot2, podemos utilizar a função geom_violin() e o seguinte código:
# Violin plot entre y e solucao
ggplot(dados, aes(x = solucao, y = y)) +
geom_violin() +
stat_summary(fun.y = "median", geom = "point", size = 2, color = "red") +
xlab("") +
ylab("crescimento (quantidade) de bactérias") +
geom_jitter(shape = 16, position = position_jitter(0.2)) +
scale_x_discrete(labels = c("S1" = "Solução 1",
"S2" = "Solução 2",
"S3" = "Solução 3")) +
theme_minimal()
Observando a Figura 1, pode-se verificar que a solução 3, aparentemente, foi a que apresentou a maior redução no crescimento de bactérias nos containers de leite. Além disso, parece não haver diferença entre os resultados produzidos pelas soluções 1 e 2. Por fim, a Figura 1 mostra que as distribuições dos dados três soluções apresentam assimetria positiva devido a possíveis outliers nas distribuições dos resultados das três soluções.
4. Estimação do Modelo Linear Normal.
A estimação do modelo linear normal associado a um DBCA consiste, basicamente, na obtenção da tabela da Análise da Variância apropriada. No caso do DBCA d experimento que estamos analisando, podemos obtê-la com o seguinte código:
# Estimação do Modelo com blocagem dos dias
mod_dbca <- aov(y ~ solucao + dia, data = dados)
summary(mod_dbca) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
solucao 2 703.5 351.8 40.72 0.000323 ***
dia 3 1106.9 369.0 42.71 0.000192 ***
Residuals 6 51.8 8.6
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1A tabela da ANOVA resultante lista inicialmente os fatores analisados que estão sendo testadas no modelo, neste caso, temos solucao (tratamento ou fator de interesse) e dia (bloco ou fator de perturbação) e os resíduos do modelo (Residuals). Toda a variação que não é explicada pelos tratamentos e pelos blocos está incorporada na variância residual.
A seguir descrevemos as colunas da tabela da ANOVA obtida:
Df: A colunaDfexibe os graus de liberdade para a variável independente (o número de níveis na variável menos 1) e os graus de liberdade para os resíduos (o número total de observações menos um e menos o número de níveis nas variáveis independentes).Sum Sq: A colunaSum Sqexibe a partição da soma de quadrados total dos dados efetuada pela ANOVA.Mean Sq: A colunaMean Sqsão os quadrados médios associados aos fatores em análise e aos resíduos, calculados dividindo-se a soma dos quadrados pelos respectivos graus de liberdade associados a cada fator e aos resíduos do modelo.F value: A colunaF valueé a estatística de teste do teste F, obtida pela divisão do quadrado médio de cada fator pelo quadrado médio dos resíduos. Quanto maior o valor F, maior a probabilidade de que a variação causada pelos tratamentos seja real e não devida ao acaso, ou à variabilidade natural do fenômeno.Pr(>F): A colunaPr(>F)é o valor-p do teste F, que estima a probabilidade de obtermos a estatística do teste F calculada a partir dos dados ter ocorrido, se a hipótese nula de nenhuma diferença entre os médias dos tratamentos fosse verdadeira. Portanto, quanto menor o valor-p, em relação ao nível de significância adotado (em geral, \alpha = 0.05), maior a chance de rejeitarmos a hipótese nula de que não há diferença entre as médias dos tratamentos, e vice-versa.
Como o valor-p associado ao teste F entre as médias de contatem de bactérias das soluções testadas foi 0,0003, os dados fornecem forte evidência para rejeitarmos a hipótese nula de que as médias dos tratamentos são iguais.
Tamanho do Efeito
Tornou-se um padrão reportar tamanhos de efeitos em artigos científicos de diversas áreas, por diversas razões, para uma visão geral recomendo Cohen (1988), Fritz, Morris e Richler (2012) e Ferguson ([s.d.]). Para analisar uma visão de sua importâcnia em economica comportamental veja Hummel e Maedche (2019).
Para ilustrar o conceito de tamanho do efeito para uma Análise da Variância, no contexto do experimento analisado, podemos perguntar inicialmente qual é a porcentagem da variação total no crescimento de bactérias associada aos tratamentos (soluções de lavagem). Esta medida é chamada de Eta-quadrático (\eta^{2}):
\eta^2 = \frac{SQ_{tratamento}}{SQ_{total}} = \frac{703.5}{703.5 + 1106.9 + 51.8} =
0.38 = 38\%
Podemos utilizar a função eta_squared() do pacote effectsize para estimar o \eta^{2}:
# Estimação dos tamanhos de efeitos
effectsize::eta_squared(mod_dbca, partial = FALSE)# Effect Size for ANOVA (Type I)
Parameter | Eta2 | 95% CI
-------------------------------
solucao | 0.38 | [0.00, 1.00]
dia | 0.59 | [0.00, 1.00]
- One-sided CIs: upper bound fixed at [1.00].Quando adicionamos mais termos ao modelo que estamos analisando (lembrando que no experimento que estamos anlisando temos um fator de interesse (tratamento) e um fator de perturbação (blocos)) podemos fazer uma pergunta diferente: qual a porcentagem da variação é explicada ao controlar quaisquer outros fatores.
\eta^{2}_p = \frac{SQ_{tratamento}}{SQ_{tratamento} + SQ_{resíduo}} = \frac{703.5}{703.5 + 51.8} = 0.93 = 93\%
Essa última pergunta é respondida pelo Eta-parcial quadrático \eta^{2}_{p}, que é a porcentagem da variância parcial (após controlar outros fatores no modelo) associada a um fator.
Em outras palavras, \eta^{2}_{p} descreve a proporção de variação associada a um fator quando a variação associada a todos os outros efeitos incluídos no modeo foi removida.
Novamente, podemos utiizar a função eta_squared(..., partial = TRUE) do pacote effectsize para estimar o \eta^{2}_p:
# Estimação dos tamanhos de efeitos
effectsize::eta_squared(mod_dbca, partial = TRUE)# Effect Size for ANOVA (Type I)
Parameter | Eta2 (partial) | 95% CI
-----------------------------------------
solucao | 0.93 | [0.75, 1.00]
dia | 0.96 | [0.83, 1.00]
- One-sided CIs: upper bound fixed at [1.00].Na falta de conhecimento mais profundo e de outras referências, a regra de bolso (Cohen (1988)) para a interpretação da magnitude de \eta^{2}_p é:
- \eta^{2}_p \approx 0.01 indica um efeito fraco ou pequeno.
- \eta^{2}_p \approx 0.06 indica um efeito moderado.
- \eta^{2}_p \approx 0.16 indica um efeito forte ou grande.
5. Diagnóstico do modelo.
Uma das partes mais importantes da análise dos dados de um DBCA (e dos demais delineamentos), consiste em verificar se o modelo linear normal utilizado é adequado.
Em geral, no caso de um DBCA, precisamos verificar:
A validade da hipótese da normalidade aproximada dos resíduos do modelo,
A validade da hipótese da variância dos resíduos ser aproximadamente constante (ou homogênea) em relação aos tratamentos.
A validade da hipótese de aditividade do modelo linear normal, isto é, de que não há interação entre blocos e tratamentos.
5.1 Verificação da normalidade dos resíduos
É sempre importante analisar gráficos dos resíduos de modelos estatísticos, entretanto, infelizmente, não é usual reportar esses gráficos nos artigos científicos, prática que depoe contra o artigo e as práticas da revista.
Além da relevância, em si, de se analisar gráficos dos resíduos, sua importância deve-se também às conhecidas limitações dos testes de hipóteses formais comumente utilizados e reportados nas revistas.
Grágico Quantil-Quantil dos Resíduos
Podemos utilizar a função ggqqplot() do pacote ggpubr para produzirmos um gráfico quantil-quantil dos resíduos. Além dos resíduos, a função produz intervalos de confiança, caso os resíduos estejam dentro da região cinza, que representa os intervalos de confiança, temos evidência de que os resíduos seguem uma distribuição aproximadamente normal.
Para o experimento em questão tempos:
# pacote utilizado
library(ggpubr)
# Gráfico quantil-quantil dos resíduos
ggqqplot(residuals(mod_dbca)) +
xlab("quantis teóricos de uma distribuição normal padrão") +
ylab("resíduos")
Analisando a Figura 2, é fácil verificar que os resíduos estão situados dentro da região de confiança (95%), portanto podemos considerar a distribuição dos resíduos compatível com uma distribuição normal padrão aproximada.
Teste de Shapiro-Wilk de normalidade dos resíduos
Um dos testes mais comumente utlizados para testar formalmente se os resíduos de um modelo linear experimental são aproximadamente normais é o teste de Shapiro-Wilk.
De forma simplificada, podemos dizer que a hipótese nula do teste é que os resíduos são, aproximadamente, normalmente distribuídos. Assim, se o valor-p do teste for menor que o nível de significância escolhido (\alpha), então a hipótese nula é rejeitada e há evidências de que os resíduos testados não são normalmente distribuídos.
Por outro lado, se o valor-p for maior que o nível de significância escolhido, a hipótese nula (de que os dados vieram de uma população normalmente distribuída) não pode ser rejeitada. Por exemplo, para um nível \alpha de 0,05, um valor p inferior a 0,05 implica na rejeição da hipótese nula de que os dados são de uma população com distribuição (aproximadamente) normalmente distribuída.
Para o experimento que estamos analisando, podemos executar o teste de Shapiro-Wilk utilizando a função interna shapiro.test():
#### Teste de Shapiro-Wilks
shapiro.test(mod_dbca$residuals)
Shapiro-Wilk normality test
data: mod_dbca$residuals
W = 0.93208, p-value = 0.4027Considerando \alpha = 0.05, como o valor-p do teste é muito superior ao nível de significância escolhido, os dados fornecem forte evidência para não rejeitarmos a hipótese nula de que os resíduos seguem uma distribuição aproximadamente normal.
5.2 Verificação da constância aproximada da variância dos resíduos
Para testar a hipóteses de constância da variância dos resíduos entre os níveis dos tratamentos, as três soluções no caso, recomendo utilizar a função interna fligner.test() que implementa o teste de constância da variância de Fligner-Killeen.
A recomendação deve-se ao fato de que o teste Fligner-Killeen foi considerado, em um estudo de simulação, como um dos testes de homogeneidade de variâncias mais robustos contra desvios da normalidade, ver Conover, Johnson & Johnson (1981).
#### Teste de Bartlett: variancia homogenea pelo tratamento
fligner.test(y ~ solucao, data = dados)
Fligner-Killeen test of homogeneity of variances
data: y by solucao
Fligner-Killeen:med chi-squared = 1.4915, df = 2, p-value = 0.4744Considerando \alpha = 0.05, como o valor-p do teste é muito superior ao nível de significância escolhido, os dados fornecem forte evidência para não rejeitarmos a hipótese nula de que os resíduos possuem variância constante (ou homogênea) entre as diferentes soluções (tratamentos) testadas.
5.3 Verificando se há interação entre bloco e tratamento
O modelo estatístico linear normal utilizado para um DBCA:
y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij},
é completamente aditivo, isto é, os efeitos devidos aos tratamentos e aos blocos são adicionados, e não multiplicados, por exemplo. Apesar deste modelo aditivo simples ser frequentemente útil, há situações nas quais ele é inadequado.
Especificamente, o modelo aditivo é inadequado em situações nas quais há interação entre tratamentos e blocos. Interações podem ocorrer, por exemplo, quando a variável resposta (y_{ij}) é medida na escala errada. Assim, se uma relação que é multiplicativa na escala original, digamos:
E(y_{ij}) = \mu \tau_i \beta_j
ela pode ser tornada aditiva (ou linear) utilizando uma escala logarítimica:
\ln(E(y_{ij})) = \ln(\mu) + \ln(\tau_i) + \ln(\beta_j)
Este tipo de interação pode ser eliminada pela transformação logaritmica, entretanto, nem todas as interações pode ser tratadas tão facilmente.
Se interações estão presentes, elas podem afetar seriamente e até invalidar a Análise da Variância de um experimento. Em geral, a presença de interações, infla o quadrado médio do resíduo e podem afetar adversamente a comparação entre as médias dos tratamentos.
Quando ambos os fatores sào de interesse (o que não é o caso em um DBCA), pode-se utilizar delineamentos fatoriais para incorporar o efeito de interações.
Há métodos gráficos e o teste de hipóteses formal de aditividade de Tukey para verificar a presença de interação.
Método Gráfico
Um gráfico de interação exibe a média (ou outra estatística) da variável resposta contra combinações dos fatores (blocos e tratamentos), ilustrando assim possíveis interações. A função interna interaction.plot() da linguagem R pode ser utilizad para produzir este gráfico, a sintáxe da função para o exeperimento que estamos analisando é:
# Verificando Interação entre Blocos e níveis do Fator (solucao)
interaction.plot(dados$dia, dados$solucao, dados$y, fixed = TRUE) 
Idealmente, as linhas de um gráfico de interação devem ser paralelas, ou seja, não devem se cruzar. Apesar da Figura 3 exibir um cruzamento, não parece haver uma interação relevante entre as solucões (tratamentos) e os dias (blocos). Uma limitaçào desse gráfico é que ele reflete possíveis imprecisões (alta variabilidade) nas estimativas das médias, o que parece ser o caso nesse experimento devido ao pequeno tamanho da amostra e à possível presença de outliers.
Teste de Aditividade de Tukey
O teste de aditividade de Tukey testa as seguintes hipóteses:
\begin{cases}
H_o: & \text{efeitos principais e blocos são aditivos,} \\
H_a: & \text{efeitos principais e blocos são não-aditivos}
\end{cases}
Podemos utilizar a função tukey.add.test(variável resposta, tratamentos, blocos) do pacote asbio para executar esse teste. No caso do experimento em análise temos:
# Testa H0: Não há efeito de interação
asbio::tukey.add.test(dados$y, dados$solucao, dados$dia)
Tukey's one df test for additivity
F = 2.7732343 Denom df = 5 p-value = 0.1567331Como o valor-p do teste (0.16) é maior que \alpha = 0.05, não rejeitamos a hipótese nula de que os efeitos principais (\tau_i) e os blocos (\beta_j) são aditivos, isto é, o resultado do teste fornece evidência de que não há interação entre blocos e tratamento.
6. Os resultados indicaram diferenças entre os crescimentos médios de bactérias produzidos pelas três soluções?
Uma Análise da Variância dos resultados do delineamento em blocos completos executado foi conduzida para comparar o efeito de três diferentes soluções de lavagem sobre o crescimento de bactérias em containers de leite. A ANOVA indicou que houve uma diferença entre pelo menos duas soluções [ F(2, 6) = 40.72, p < .001, \eta^2_p = .93]. A análise dos resíduos indicou a adequação do modelo utilizado.
7. Qual solução deveria ser recomendada? Utilize os testes de Fisher e Tukey.**
Como a ANOVA indicou diferenças entre o crescimento (quantidade) média de bactérias entre as soluções testadas, dos laboratórios, surgem outras perguntas:
Quais soluçóes apresentaram médias estatisticamente iguais e quais apresentaram médias estatisticamente iguais?
Qual solução apresentou o melhor resultado? Ou seja, apresentou a maior redução no crescimento de bactérias nos containers de leite?
Necessitamos de procedimentos de comparações múltiplas de médias para responder estas questões.
Entre os dois mais utilizados, temos os testes de Fisher e de Tukey.
Teste de Fisher
Duas médias de tratamentos são estatisticamente diferentes segundo o teste da diferença mínima significativa (dms) de Fisher se:
|\bar{y}_i - \bar{y}_j| \geq dms = t_{(\alpha, gl_{resíduos})} \sqrt{\frac{2QM_{resíduos}}{J}}
sendo gl_{resíduos} o grau de liberdade do resíduo:
O teste de Fisher requer que o teste F da ANAVA tenha rejeitado a hipótese nula de igualdade entre as médias de tratamentos de forma a controlar o erro tipo I
Este teste é liberal, no sentido de que possui grande poder e erro tipo I maior que um teste mais conservador.
### Teste de Fisher
agricolae::LSD.test(mod_dbca,
"solucao",
alpha = 0.05,
p.adj = "fdr",
console = TRUE)
Study: mod_dbca ~ "solucao"
LSD t Test for y
P value adjustment method: fdr
Mean Square Error: 8.638889
solucao, means and individual ( 95 %) CI
y std r se LCL UCL Min Max Q25 Q50 Q75
S1 23.00 11.284207 4 1.469599 19.40402 26.59598 13 39 16.75 20.0 26.25
S2 25.25 12.996794 4 1.469599 21.65402 28.84598 16 44 16.75 20.5 29.00
S3 8.00 9.486833 4 1.469599 4.40402 11.59598 1 22 3.25 4.5 9.25
Alpha: 0.05 ; DF Error: 6
Critical Value of t: 2.446912
Minimum Significant Difference: 5.085484
Treatments with the same letter are not significantly different.
y groups
S2 25.25 a
S1 23.00 a
S3 8.00 bTeste de Tukey
Duas médias de tratamentos são estatisticamente diferentes segundo o teste de Tukey se:
|\bar{y}_i - \bar{y}_j| \geq dhs = q_{(\alpha, I, gl_{resíduos})} \sqrt{\frac{QM_{resíduos}}{J}}
Este teste é muito conservador, ou seja tem o menor poder em relação a testes liberais e o menor erro tipo I.
### Teste de Tukey
TukeyHSD(mod_dbca,
"solucao",
conf.level = 0.95) Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = y ~ solucao + dia, data = dados)
$solucao
diff lwr upr p adj
S2-S1 2.25 -4.126879 8.626879 0.5577862
S3-S1 -15.00 -21.376879 -8.623121 0.0008758
S3-S2 -17.25 -23.626879 -10.873121 0.0004067No caso do experimento analisado, os dois testes produziram os mesmos resultados:
o crescimento médio de bactérias devido às soluções 1 e 2 são estatisticamente iguais. Médias identificadas com a mesma letra representam esse fato, apresentam a letra
ano caso.o crescimento médio de bactérias produzido pela solução 3 é estatisticamente diferente das médias produzidas pelas soluções 1 e 2, repare que apenas a média produzida pela solução 3 contém a letra
b.
Portanto, a solução recomendada, com fundamento nos resultados do experimento, seria a solução 3.
8. Comunicando os resultados finais da análise.
A forma de reportar análises estatísticas depende da área do conhecimento e da revista científica específica. Entretanto, o padrão definido pelo American Psychological Association (Cooper (2018)) é bastante utilizado em ciëncias comportamentais. Seguindo o padrão APA, as conclusões da análise do experimento seriam aproximadamente como se segue:
Uma Análise da Variância dos resultados do delineamento em blocos completos executado foi conduzida para comparar o efeito de três diferentes soluções de lavagem sobre o crescimento de bactérias em containers de leite. A ANOVA indicou que houve uma diferença entre pelo menos duas soluções [F(2, 6) = 40.72, p < .001, \eta^2_p = .93]. A análise dos resíduos indicou a adequação do modelo utilizado.
Comparações post hoc usando o teste de Tukey indicaram que o crescimento médio de bactérias após a aplicação da solução 3 foi significativamente diferente dos resultados obtidos com a solução 1 [p < 0.001, IC 95%. = [-21,38, -8,62] e com a solução 2 [p < 0.001, IC 95%. = [-23,63, -10,87].
Não houve diferença estatisticamente significativa entre o crescimento médio de bactérias produzidos pelas soluções 1 e 2 [p < 0,5578, IC 95%. = [-4,13, -8,63].
9. Utilize um Método Não-Paramétrico
Em construção
Referências
CASELLA, G. Statistical Design. [s.l.] Springer, 2008.
COHEN, J. Statistical power analysis for the behavioral sciences. 2. ed. [s.l.] Routledge, 1988.
COOPER, H. Reporting quantitative research in psychology: How to meet APA style journal article reporting standards. [s.l.] American Psychological Association, 2018.
FERGUSON, C. J. Methodological issues and strategies in clinical research. Em: KAZDIN, A. E. (Ed.). [s.l.] American Psychological Association, [s.d.].
FRITZ, C. O.; MORRIS, P. E.; RICHLER, J. J. Effect size estimates: current use, calculations, and interpretation. Journal of Experimental Psychology: General, v. 141, n. 1, p. 2, 2012.
HUMMEL, D.; MAEDCHE, A. How effective is nudging? A quantitative review on the effect sizes and limits of empirical nudging studies. Journal of Behavioral and Experimental Economics, v. 80, p. 47–58, 2019.
MEIER, L. ANOVA and Mixed Models: A Short Introduction Using R. [s.l.] CRC Press, 2022.
MONTGOMERY, D. C. Design and Analysis of Experiments. 5. ed. [s.l.] John Wiley & sons, 2001.