Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos, onde cada elemento do primeiro conjunto (chamado de domínio) está associado a exatamente um elemento do segundo conjunto (chamado de imagem).

Formalmente, uma função \(f\) de um conjunto \(X\) para um conjunto \(Y\) é uma regra que atribui a cada elemento \(x \in X\) um único elemento \(y \in Y\), denotado por \(f(x)\).

Podemos escrever:

\[ f: X \to Y \]

onde \(f(x)\) é o valor de \(f\) em \(x\).

A função curve() de R permite que você crie gráficos de funções matemáticas de forma simples.

\[ f(x) = 2x + 1 \]

curve(funcao_linear, 
      from = -2, 
      to = 2, 
      ylab = "f(x)", 
      main = "Função Linear: f(x) = 2x + 1"
      )
abline(h = 0)
abline(v = 0)

\[ f(x) = x^2 - x - 2 \]

curve(funcao_quadratica, 
      from = -3, 
      to = 3, 
      ylab = "f(x)", 
      main = "Função Quadrática: f(x) = x^2 - x - 2"
      )
abline(h = 0)
abline(v = 0)

\[ f(x) = x^3 - 2x - 5 \]

curve(funcao_cubica, 
      from = -3, 
      to = 3, 
      ylab = "f(x)", 
      main = "Função Cúbica: f(x) = x^3 - 2x - 5"
      )
abline(h = 0)
abline(v = 0)

\[ f(x) = e^{3x} \]

curve(funcao_exponencial, 
      from = -1, 
      to = 1, 
      ylab = "f(x)", 
      main = "Função Exponencial: f(x) = exp(x)"
     )
abline(h = 0)
abline(v = 0)

\[ f(x) = \ln(x) \quad (x > 0) \]

curve(funcao_logaritmo, 
      from = 0.1, 
      to = 10, 
      ylab = "f(x)", 
      main = "Função Logaritmica: f(x) = ln(x)"
     ) 
abline(h = 0)
abline(v = 0)

As raízes de uma função matemática são os valores de \(x\) para os quais a função \(f(x)\) é igual a zero. Formalmente, se \(f\) é uma função de \(x\), então os valores de \(x\) que satisfazem a equação

\[ f(x) = 0 \]

são chamados de raízes da função \(f\). Em outras palavras, as raízes são os pontos onde a curva da função intersepta o eixo \(x\).

A função uniroot da base R encontra raízes de funções contínuas reais de uma variável, utilizando o método da bisseção.

• Raiz de uma Função Cúbica

# Definindo a função cúbica
cubica <- function(x) {
  x^3 - 2*x - 5
}

# Encontrando uma raiz no intervalo [2, 3]
uniroot(cubica, interval = c(2, 3))

$root
[1] 2.0945

$f.root
[1] -0.0001147

$iter
[1] 5

$init.it
[1] NA

$estim.prec
[1] 0.000061035

A função fzero do pacote pracma encontra as raízes de funções contínuas de funções de uma variável

• Raízes de uma Função Cúbica

library(pracma)

# Definindo a função quadrática
fcubica <- function(x) {
  return(x^3 - 2*x - 5)
}

# Encontrando uma raiz no intervalo [-10, 10]
fzero(fcubica, c(2, 3))

$x
[1] 2.0946

$fval
[1] -0.00000000000000088818

• fzero() aceita ponto inicial e escolhe o melhor método.
• uniroot() requer que você garanta a mudança de sinal no intervalo fornecido.

Vimos que a primeira derivada de \(f(x) = 3x^2\) é \(f^{'}(x) = 6x\).

Qual o valor de \(f^{'}(2)\)?

\[ f^{'}(2) = 6 \times 2 = 12 \]

# carrega o pacote
library(numDeriv)

# define a função quadrática
funcao <- function (x) {return(3*x^2)}

# Derivada numérica da função quadrática
primeira_derivada_numerica <- grad(funcao, x = 2)
primeira_derivada_numerica

[1] 12

Vamos calcular numericamente a derivada segunda de \(f(x) = 3x^2\) no ponto \(x = 2\).

Lembrando:

\[ f''(x) = 6 \]

library(numDeriv)

# função original
f <- function(x) {3*x^2}

# derivada segunda usando função hessian
segunda_derivada_numerica <- hessian(f, x = 2)
segunda_derivada_numerica

     [,1]
[1,]    6

Vamos encontrar o máximo da função:

\[ f(x) = -x^2 + x + 2 \]

no intervalo \([-1,; 2]\).

Como optimize() minimiza funções, usamos:

resultado <- optimize(function(x) -f(x), interval = c(-1, 2))

Ou seja, minimizamos \(-f(x)\) para encontrar o máximo de \(f(x)\).

• O valor de resultado$maximum será o ponto onde \(f(x)\) atinge o máximo.

• resultado$objective será \(-f(x)\) nesse ponto. Para recuperar \(f(x)\), basta multiplicar por -1.

Utilizando a função optimize da linguagem R. Encontre o valor de \(x\) que maximiza a seguinte função quadrática:

\[ f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \]

Valor Esperado ou Média = \(E(Y)\)

Média ponderada de todos os valores possíveis que \(Y\) pode assumir, ponderada pelas suas respectivas probabilidades:

\[ E[Y] = \sum_{y} y \cdot P(Y = y) \quad \text{(variáveis discretas)} \] \[ E[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f(y) \, dy \quad \text{(variáveis contínuas)} \]

Variância = \(V(Y)\) = \(\sigma^2\)

A variância de uma variável aleatória mede a variabilidade dos valores de \(Y\) em torno do seu valor esperado.

\[ \text{Var}(Y) = E[(Y - E[Y])^2] = E[Y^2] - (E[Y])^2 \]

Desvio-Padrão = \(\sqrt{V(Y)}\) = \(\sigma\)

O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, fornecendo uma medida de variabilidade que está na mesma unidade de Y.

\[ \sqrt{\text{Var}(X)} = \sigma \]

Quantis

Os quantis são valores que particionam a distribuição de modo que há uma probabilidade específica de que a variável aleatória seja menor que o quantil. Por exemplo, o quantil de 0.25 (ou o primeiro quartil) é o valor abaixo do qual 25% dos dados podem ser encontrados.

Coeficiente de Assimetria

Mede a assimetria de uma distribuição. Uma distribuição perfeitamente simétrica, como a distribuição normal, possui coeficeinte de assimetria igual a zero.

\[ \text{Assimetria} = E\left[\left(\frac{Y - E[Y]}{\sigma_Y}\right)^3\right] \]

Coeficiente de Curtose

É uma medida do achatamento ou da concentração de valores no centro da distribuição comparado a uma distribuição normal. Um distribuição normal tem curtose igual a 3.

\[ \text{Curtose} = E\left[\left(\frac{Y - E[Y]}{\sigma_Y}\right)^4\right] - 3 \]

Distribuição Conjunta: \(f_{X,Y}(x,y)\)

A distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é a função de densidade de probabilidade que descreve a probabilidade de X e Y assumirem valores específicos simultaneamente.

• Discreta: \(f(x, y) = P(X = x \cap Y = y)\)
  
• Contínua: \(f(x, y)\) é uma densidade tal que \[ \iint f(x, y)\,dx\,dy = 1 \]

Distribuição Marginal: \(f_X(x)\) e \(f_Y(y)\)

As distribuições marginais mostram o comportamento de uma única variável.

São obtidas a partir da distribuição conjunta somando (ou integrando) sobre a outra variável:

• Para \(X\):

  \[ f_1(x) = \sum_y f(x, y) \quad \text{ou} \quad f_1(x) = \int f(x, y)\,dy \]

Distribuição Condicional: \(f_{X|Y}(x|y)\)

A distribuição condicional de \(Y\) dado \(X = x\) é:

\[ f(y \mid x) = \frac{f(x, y)}{f_1(x)} \quad \text{(se } f_1(x) > 0\text{)} \]

Independência de Variáveis Aleatórias

\(X\) e \(Y\) são independentes se:

\[ f(x, y) = f_1(x) \cdot f_2(y) \]

Covariância: \(Cov(X, Y)\)

A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é uma medida da direção da relação linear entre elas.

\[ \text{Cov}(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] = E(XY) - E(X)E(Y) \]

Correlação: \(\rho_{X, Y}\)

A correlação é a covariância normalizada pelos desvios-padrão de X e Y, fornece uma medida da relação linear entre as variáveis que varia entre -1 e +1.

\[ \text{Cor}(X, Y) = E\left[ \left( \frac{X - \mu_X}{\sigma_X} \right)\left( \frac{Y - \mu_Y}{\sigma_Y} \right) \right] = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \]

• Teoria da Probabilidade: Assume o Processo Gerador dos Dados ✅
• Inferência Estatística: Aprende o Processo Gerador dos Dados a partir dos dados disponíveis

• Mais especificamente, qual membro da classe de distribuições de probabilidade assumida deu origem aos dados?

• O que precisamos conhecer de uma Distribuição Normal para calcular probabilidades?

  • Os parâmetros da distribuição.
  • \(E(Y) = \mu\) e \(V(Y) = \sigma^2\) (ou \(\sqrt{\sigma^2} = \sigma\))

• Assume que os dados são gerados por um modelo probabilístico conhecido (PGD), expresso como uma função matemática com parâmetros desconhecidos (i.e., distribuição de probababilidade).

• Objetivo: Estimar os parâmetros do modelo a partir dos dados disponíveis.

• Métodos Típicos:

  • Modelos de Regressão linear
  • Modelos de Regressão Não Linear (probit, logit, etc.)
  • Modelos para Séries Temporais (ARIMA, GARCH, VAR, etc.)
  • Modelos de Regressão para Dados em Painel (Efeitos Fixos, Efeitos Aleatórios, etc.)

• Foco: Inferência sobre os parâmetros para entender o processo subjacente.

• Quais são os fatores fundamentais que determinam os preços dos ativos e como esses fatores podem ser modelados para avaliar adequadamente o valor de um ativo?

• Como os retornos dos ativos financeiros, como ações ou títulos, são afetados por fatores macroeconômicos, mudanças na política monetária, ou eventos de mercado?

• Como estimar e prever a volatilidade dos mercados financeiros ou de ativos específicos?

• Os preços dos ativos refletem todas as informações disponíveis e, portanto, os mercados são informacionalmente “eficientes”?

• Estimador: Fórmula que aplicamos aos dados da amostra para obter um valor que estima uma parâmetro populacional.

• Estatística: É qualquer função dos dados da amostra. Todo estimador é uma estatística, mas nem toda estatística é um bom estimador.

• Estimativas: Resultados numéricos obtidos ao aplicar os estimadores

Inferência Estatística:

Permite inferir características da população a partir da amostra, como médias, variâncias, proporções, etc.

Objetivo:

Estimar parâmetros populacionais, testar hipóteses e fazer previsões sobre a população com base em dados amostrais.

Por que é necessária?:

Na maioria das vezes, não é possível coletar dados de toda a população, então usamos amostras para fazer inferências sobre a população como um todo.

Os métodos clássicos de Inferência Estatística podem ser divididos em:

Métodos de Estimação de Parâmetros:

• Estimação Pontual: Procura fornecer o melhor valor único para um parâmetro desconhecido.

• Estimação Intervalar: Fornece um intervalo de valores que, com uma certa confiança, inclui o valor do parâmetro desconhecido.

Testes de Hipóteses:

Procedimentos para testar se uma afirmação sobre uma característica da população é verdadeira.

• Hoje, trataremos do Métodos de Estimação Pontual de parâmetros.

• Os métodos estatísticos paramétricos são um conjunto de técnicas de análise estatística que assumem que os dados amostrais vêm de uma população que pode ser adequadamente descrita por uma distribuição de probabilidade que é completamente especificada por um conjunto finito de parâmetros.

• Esses métodos são fundamentados na hipótese de que a forma funcional da distribuição subjacente aos dados pode ser conhecida, e o objetivo principal é estimar os valores dos parâmetros dessa distribuição.

Modelagem Baseada em Distribuição Conhecida:

Utilizam modelos probabílisticos (dist. de probabilidade) que especificam uma forma funcional exata para a distribuição dos dados, como as distribuições normal, log-normal, binomial, Poisson, entre muitas outras.

Estimação de Parâmetros:

Envolve a determinação dos valores dos parâmetros da distribuição que melhor se ajustam aos dados observados, geralmente através de métodos como o de máxima verossimilhança, método dos momentos, bayesiano.

Há estimadores pontuais e intervalares para os parâmetros.

Eficiência com Suposições Corretas:

Quando as hipóteses do modelo estão corretas, os métodos paramétricos são geralmente mais eficientes (ou seja, têm menor variância) do que os métodos não paramétricos, proporcionando estimativas mais precisas e testes estatísticos mais poderosos.

Modelos Interpretáveis:

Os modelos e estimativas dos parâmetros são interpretáveis e, muitas vezes, fundamentados em teorias da área de aplicação.

• Em Estatística, a Estimação Pontual envolve o uso de dados amostrais para estimar um parâmetro “populacional”.

• Um Estimador é uma função matemática dos dados da amostra.

• Estimadores pontuais são construídos para estimar parâmetros populacionais.

• Uma Estimativa é um valor específico de um estimador obtido com dados de uma amostra.

• \(\bar{x} = \frac{\sum{x_i}}{n}\) é um estimador de \(E(Y) = \mu\).

• \(\bar{x} = 3.14\) é uma estimativa de \(E(Y) = \mu\).

• • É possível obter diversos estimadores para um parâmetro populacional, assim, o trabalho do estatístico é construir bons estimadores.

• Método da Máxima Verossimilhança
• Método Bayesiano
• Método dos Momentos
• Método dos Momentos Generalizados
• …

• O Método da Máxima Verossimilhança (MLE, do inglês Maximum Likelihood Estimation) é um método amplamente utilizado em estatística para a estimação de parâmetros de modelos probabilísticos.

• Este método baseia-se no princípio de determinar os valores dos parâmetros que maximizam a função de verossimilhança, que representa a probabilidade de observar os dados amostrais dados os parâmetros do modelo.

Os parâmetros são estimados maximizando a função de log-verossimilhança (\(\ell(\theta)\)), envolvendo a resolução das equações:

\[ \frac{\partial \ell(\theta|y)}{\partial \theta_j} = 0 \quad \text{para todo } j \]

A solução dessas equações fornece os estimadores de máxima verossimilhança \(\hat{\theta}\).

Um estimador \(\hat{\theta}\) é dito não viesado para um parâmetro \(\theta\) se o valor esperado do estimador é igual ao valor verdadeiro do parâmetro. Matematicamente:

\[ \mathbb{E}(\hat{\theta}) = \theta \]

Linearidade:

\[ \begin{align} E[X_1 + X_2 + \ldots + X_n ] &= E[X_1] + E[X_2] + \ldots + E[X_N] \\ E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] &= \sum_{i=1}^n E[X_i] \end{align} \]

Valor Esperado de uma Constante:

\[ E[c] = c \rightarrow E[cX] = cE[X] \]

Valor Esperado do Produto de Variáveis Independentes

\[ E[X_1 X_2] = E[X_1]E[X_2] \]

\[ \begin{align} E[\bar{x}] &= E\left[\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right] \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[x_i] \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu \\ &= \frac{1}{n} \cdot n\mu \\ &= \mu \end{align} \]

O estimador de máxima verossimilhança da variância \((\sigma^2)\) de uma distribuição normal é viesado:

\[ \begin{align} E[\hat{\sigma}^2] &= E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\right] \\ &= \frac{n-1}{n}\sigma^2 \end{align} \]

Isso mostra que \(\hat{\sigma}^2\) é viesado.

Para corrigir esse viés, multiplicamos o estimador por \[\frac{n}{n-1}\], obtendo o estimador corrigido:

\[ \boxed{s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \] Esse estimador é não viesado, pois \(E[s^2] = \sigma^2\).

Um estimador é considerado eficiente dentro de uma classe de estimadores se ele possui a menor variância possível entre todos os estimadores não viesados dessa classe para o parâmetro estimado.

Se \(\hat{\theta}\) é um estimador não viesado, então é eficiente se:

\[ \text{Var}(\hat{\theta}) \leq \text{Var}(\tilde{\theta}) \quad \forall \tilde{\theta} \text{ não viesados} \]

onde \(\tilde{\theta}\) é qualquer outro estimador não viesado do parâmetro \(\theta\).

Um estimador \(\hat{\theta}_n\) é consistente para \(\theta\) se, à medida que o tamanho da amostra \(n\) aumenta, o estimador converge em probabilidade para o valor verdadeiro do parâmetro.

Matematicamente:

\[ \hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta \quad \text{quando} \quad n \to \infty \]

Ou, de forma equivalente, a variância do estimador converge a zero e o viés converge a zero conforme \(n\) aumenta:

\[ \lim_{n \to \infty} \text{Var}(\hat{\theta}_n) = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(\hat{\theta}_n - \theta) = 0 \]