✅ Use Monte Carlo quando:

• Múltiplas incertezas simultâneas: vários parâmetros incertos
• Distribuições não-padrão: triangular, uniforme, assimétricas
  
• Necessidade de quantificar risco: P(perda), percentis, cenários extremos
• Correlações entre variáveis: inflação × juros, receita × custos

❌ Evite Monte Carlo quando:

• Solução analítica simples existe: fórmulas fechadas suficientes
• Incerteza mínima: parâmetros bem conhecidos
• Tempo/recursos limitados: urgência na decisão

Exemplos Práticos:

💡 Regra prática: Se você tem múltiplas incertezas OU precisa quantificar probabilidades de risco, use Monte Carlo.

Análise de Sensibilidade (3 cenários):

Pessimista: VPL = -R$ 15.000
Base:       VPL = +R$ 2.600  
Otimista:   VPL = +R$ 22.000

✅ Vantagens: Simples, rápida
❌ Limitações: Apenas 3 pontos, sem probabilidades

Simulação de Monte Carlo (100.000 cenários):

P(VPL > 0) = 73%              → probabilidade de sucesso
P(VPL < -10.000) = 8%        → risco de perda severa
VPL médio = R$ 3.200          → retorno esperado
Percentil 5% = -R$ 12.500     → pior caso provável

✅ Vantagens: Informação completa sobre risco
❌ Limitações: Mais complexa

Qual informação é mais útil para decidir?

💡 Monte Carlo fornece exatamente as informações que gestores precisam para decisões sob risco.

💼 Análise de Viabilidade de Projetos de Investimento

• Análise de VPL com múltiplas incertezas
• Orçamento de capital sob risco
• Opções reais (expandir, abandonar projeto)

📊 Gestão de Risco

• Value-at-Risk (VaR): perdas máximas prováveis
• Stress testing: cenários de crise
• Risco de crédito: probabilidade de calote

🏛️ Setores que Utilizam Métodos de Monte Carlo no Brasil

🎯 Por que esses setores usam?

• Alto risco financeiro nas decisões
• Regulamentação exige quantificação de risco
  
• Vantagem competitiva na análise sofisticada

Resultado: Simulação de Monte Carlo não é uma técnica acadêmica, é ferramenta de trabalho em finanças corporativas.

Análise Tradicional (Determinística):

• Investimento: R$ 75.000 | Receita anual: R$ 15.000 (8 anos) | Taxa: 12%

• VPL = R$ 2.600 → Projeto viável ✅

Realidade: Múltiplas Incertezas

• Investimento: R$ 65.000 - R$ 85.000
• Receitas: R$ 12.000 - R$ 16.000 por ano
  
• Duração: 7 - 10 anos
• Taxa: 10% - 15%

Pergunta crítica: Qual a probabilidade real de sucesso?

Limitações da análise determinística:

• Ignora a distribuição de resultados possíveis
• Não quantifica o risco de insucesso

💡 Solução: Simulação de Monte Carlo quantifica a incerteza/risco.

• A distribuição triangular é amplamente utilizada em simulações de Monte Carlo, especialmente em estudos de viabilidade econômica e financeira, devido às suas características únicas e aplicabilidade prática.

• Função Densidade de Probabilidade

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{para } a \leq x < c, \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \text{para } c \leq x \leq b, \\ 0 & \text{caso contrário}. \end{cases} \]

• Valor Esperado (ou média):

\[ E(X) = \frac{a + b + c}{3} \]

• Variância

\[ V(X) = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc}{18} \]

• Dados Limitados ou Incerteza Significativa

A distribuição triangular é particularmente útil quando os dados são escassos ou quando há uma grande incerteza sobre as estimativas das variáveis. Ela é ideal para modelar variáveis com estimativas baseadas em opiniões de especialistas ou quando se tem apenas uma ideia geral sobre os limites superior e inferior e uma estimativa razoável do valor mais provável.

• Projetos com Escopo Bem Definido, mas com Parâmetros Incertos

Em projetos de investimento onde o escopo é conhecido (por exemplo, desenvolvimento de um novo produto, construção civil), mas os parâmetros individuais são incertos, a distribuição triangular ajuda a modelar os riscos associados a esses parâmetros de forma eficaz.

• Análise Preliminar de Viabilidade

A distribuição triangular é ideal para análises preliminares, onde a rapidez e a facilidade de implementação são importantes, e a precisão absoluta dos resultados da simulação pode não ser crítica.

• Em R:

library(triangulr)
rtri(n, a, b, c)

Diretrizes Práticas:

Use Uniforme quando:

• Não há informação sobre qual valor é mais provável
• Cenário de “pior caso” vs “melhor caso” equiprováveis
• Análise conservadora de sensibilidade

# Receitas podem variar igualmente entre os extremos
receitas <- runif(n, 12000, 16000)

Use Triangular quando: - Especialistas podem estimar min, max e “mais provável” - Parâmetros de projetos com base em experiência - Dados históricos limitados, mas há conhecimento do setor

# Tempo de construção: experiência sugere 10 meses como mais provável
tempo <- rtri(n, 9, 11, 10)

Use Normal quando:

• Retornos financeiros (com cuidado nas caudas)
• Variáveis que são somas de muitos fatores pequenos
• Dados históricos abundantes sugerem normalidade

# Retornos de portólio diversificado
retornos <- rnorm(n, 0.08, 0.12)

⚠️ Cuidado: Nunca use Normal para variáveis que não podem ser negativas (preços, quantidades) sem truncamento adequado.

Origem: Desenvolvido por Stephen Kanitz (Kanitz, 1978) para empresas brasileiras.

Fórmula:

\[ FI = 0,05A + 1,65B + 3,55C – 1,06D – 0,33E \]

Indicadores:

• \(A =\) Rentabilidade do PL: lucro líquido / patrimônio líquido
• \(B =\) Liquidez Geral: (AC + RLP) / exigível total
  
• \(C =\) Liquidez Seca: (AC - estoques) / passivo circulante
• \(D =\) Liquidez Corrente: ativo circulante / passivo circulante
• \(E =\) Grau de Endividamento: passivo total / patrimônio líquido

Interpretação:

• \(FI > 0\): Solvente (baixo risco)
• \(-3 \leq FI \leq 0\): “Penumbra” (risco moderado)
  
• \(FI < -3\): Insolvente (alto risco)

Por que simular? Os indicadores financeiros têm incerteza. A simulação quantifica o risco de classificação incorreta.

Resultados Comparativos:

Distribuição de Risco Simulada:

• P(Solvente): 22.4% → Risco significativo de classificação otimista
• P(Penumbra): 77.6% → Zona de incerteza predominante
  
• P(Insolvente): 0% → Baixo risco de insolvência severa

Nota: P5 e P95 representam os percentis 5% e 95% da distribuição empírica (90% dos cenários ficam neste intervalo)

Vantagens da Simulação de Monte Carlo:

✅ Quantifica incerteza: 22.4% de chance de classificação como solvente vs. valor pontual

✅ Revela amplitude de cenários: 90% dos resultados entre FI = -2.2 e 0.9

Relevância para Análises Complexas:

A simulação torna-se ainda mais útil ao considerar:

• Múltiplos indicadores com correlações setoriais
• Cenários macroeconômicos e sazonalidade
  
• Portfólios de crédito com dependências entre empresas

💡 Conclusão:

Monte Carlo transforma uma análise determinística em uma avaliação probabilística de risco.

Vamos simular o VPL de um projeto de investimento usando:

\[ \text{VPL} = \sum_{t=1}^{\text{tempo}} \frac{\text{receita}_t}{(1 + \text{taxa})^t} + \frac{\text{valor residual}}{(1 + \text{taxa})^{\text{t}}} - \text{investimento inicial} \]

O código R para simular o VPL de um projeto de investimento é exibido nos próximos slides.

Imagine que temos 100 mil projetos diferentes para simular, e cada projeto:

• Tem duração própria (ex: 9, 10, ou 11 anos)

• Receitas e taxas diferentes a cada simulação

• Logo, não é possível vetorizar os cálculos como em um Excel

• Precisamos de um jeito elegante e eficiente de aplicar uma função a cada simulação individualmente.

• Função sapply():

vpl_sim <- sapply(1:n_sim, function(i) {
  receitas <- runif(tempo[i], 12000, 16000)
  vpl_fluxos <- sum(receitas / (1 + taxa[i])^(1:tempo[i]))
  vpl_fluxos + residual[i]/(1 + taxa[i])^tempo[i] - invest_rec[i]
})

• O que está acontecendo?

• Analogia

Imagine uma linha de montagem com 100.000 kits de projeto. sapply() é como uma máquina que pega cada kit, aplica a mesma receita de cálculo, e devolve o resultado final.

• Por que não usamos for?

Resumo: sapply() é como um “for melhorado” que aplica uma função a cada item de uma sequência, devolvendo um vetor com os resultados.

Parâmetros do Projeto (Valores Mais Prováveis):

• Investimento inicial: R$ 75.000 (ponto médio: 65.000 - 85.000)
• Receitas anuais: R$ 14.000 (ponto médio: 12.000 - 16.000)
  
• Duração: 10 anos (valor modal da triangular: 9 - 11 anos)
• Taxa de desconto: 13% a.a. (valor modal da triangular: 10% - 15%)
• Valor residual: R$ 5.000 (valor modal da triangular: 4.000 - 6.000)

Cálculo do VPL Determinístico:

# Parâmetros determinísticos (valores modais)
investimento_det <- 75000
receita_anual_det <- 14000
duracao_det <- 10
taxa_desconto_det <- 0.13
valor_residual_det <- 5000

# Cálculo do VPL usando a fórmula padrão
# VPL = ∑[Receitas/(1+r)^t] + Valor_Residual/(1+r)^n - Investimento_Inicial

# Fluxos de receitas descontados
vpl_receitas_det <- sum(receita_anual_det / (1 + taxa_desconto_det)^(1:duracao_det))

# Valor residual descontado
vpl_residual_det <- valor_residual_det / (1 + taxa_desconto_det)^duracao_det

# VPL final
vpl_deterministico <- vpl_receitas_det + vpl_residual_det - investimento_det

# Resultados com formatação brasileira
cat("VPL das receitas:", format(round(vpl_receitas_det, 0), big.mark = ".", decimal.mark = ","), "reais\n")

VPL das receitas: 75.967 reais

cat("VPL do valor residual:", format(round(vpl_residual_det, 0), big.mark = ".", decimal.mark = ","), "reais\n")

VPL do valor residual: 1.473 reais

cat("VPL total (determinístico):", format(round(vpl_deterministico, 0), big.mark = ".", decimal.mark = ","), "reais\n")

VPL total (determinístico): 2.440 reais

# Decisão baseada no VPL determinístico
if (vpl_deterministico > 0) {
  cat("Decisão: Projeto VIÁVEL (VPL > 0)\n")
} else {
  cat("Decisão: Projeto INVIÁVEL (VPL ≤ 0)\n")
}

Decisão: Projeto VIÁVEL (VPL > 0)

Limitações da Análise Determinística:

⚠️ Ignora incerteza: Usa apenas valores pontuais, sem considerar variabilidade

⚠️ Decisão binária: Resultado único não quantifica probabilidade de erro

⚠️ Subestima risco: Não mostra amplitude de cenários possíveis

⚠️ Informação limitada: Não informa sobre distribuição de resultados

💡 Próximo Passo:

A Simulação de Monte Carlo captura toda essa incerteza, fornecendo uma avaliação probabilística completa do risco do projeto.

# Configuração inicial para reprodutibilidade
set.seed(567)
n_sim <- 100000  # 100 mil simulações

# PASSO 1: Simula as variáveis/inputs do VPL
invest_rec <- runif(n_sim, 65000, 85000)    # Investimento inicial (uniforme)
residual   <- rtri(n_sim, 4000, 6000, 5000)   # Valor residual (triangular)
tempo      <- round(rtri(n_sim, 9, 11, 10))   # Duração em anos (triangular)
taxa       <- rtri(n_sim, 0.10, 0.15, 0.13)  # Taxa de desconto (triangular)

# PASSO 2: simula as receitas e calcula VPL
vpl_sim <- sapply(seq_len(n_sim), function(i) {
  
  # Gera receitas aleatórias para o projeto i 
  receitas <- runif(tempo[i], 12000, 16000)
  
  # Calcula VPL dos fluxos de receitas descontados
  vpl_fluxos <- sum(receitas / (1 + taxa[i])^(1:tempo[i]))
  
  # VPL total = fluxos + valor residual - investimento inicial
  vpl_total <- vpl_fluxos + residual[i]/(1 + taxa[i])^tempo[i] - invest_rec[i]
  
  return(vpl_total)  # retorna VPL do projeto i
})


# VPL simulado mediano
vpl_mediano <- median(vpl_sim)  # Mediana dos VPLs simulados
vpl_mediano

[1] 3524.3

# Estimativa da Probabilidade de Viabilidade
prob_viavel <- mean(vpl_sim > 0) * 100  # % de projetos com VPL > 0
prob_viavel

[1] 66.995

# Estimativa da Probabilidade de Inviabilidade
prob_inviavel <- mean(vpl_sim <= 0) * 100  # % de projetos com VPL ≤ 0
prob_inviavel

[1] 33.005

Por que esse código é assim?

• Linha 5-9: Cada projeto tem características fixas (duração, taxa, etc.)

• Linha 12: sapply() processa cada projeto individualmente

• Linha 15: Receitas são diferentes para cada projeto (tamanho varia com tempo[i])

• Linha 18: Fórmula padrão do VPL aplicada ao projeto i

Resultado: Vetor vpl_sim com 100.000 VPLs simulados prontos para análise!

Resultados Comparativos:

Distribuição de Risco Simulada:

• P(Viável, VPL > 0): 67% → Probabilidade de sucesso do projeto

• P(Inviável, VPL ≤ 0): 33% → Risco de prejuízo financeiro

Nota: P5 e P95 representam os percentis 5% e 95% da distribuição empírica (90% dos cenários ficam neste intervalo)

Vantagens da Simulação de Monte Carlo:

✅ Quantifica risco de insucesso: 33% de chance de VPL negativo vs. decisão binária

✅ Revela amplitude de cenários: 90% dos resultados entre R$ -8.226 e R$ 15.401

✅ Informa decisões: Quantifica a incerteza / risco do projeto

Relevância para Análises Complexas:

A simulação torna-se ainda mais valiosa ao considerar:

• Correlações entre variáveis (inflação × juros, receita × custos)
• Cenários macroeconômicos e ciclos econômicos
• Portfólios de projetos com dependências e restrições orçamentárias

💡 Conclusão:

Monte Carlo transforma uma análise determinística em uma avaliação probabilística de viabilidade

Importância Econômica:

• Agronegócio representa parcela significativa do PIB brasileiro

• Soja: uma das principais commodities de exportação

• Produção com características sazonais: descasamento temporal entre custos e receitas

Características do Ciclo Financeiro:

• Desembolsos concentrados: período de plantio (insumos, maquinário)
• Receitas concentradas: período de colheita e comercialização
• Déficit de caixa temporário: meses entre investimento e retorno

Principais Incertezas:

• Produtividade: fatores climáticos, fitossanitários, qualidade do solo
• Preços: volatilidade dos mercados internacionais de commodities
• Custos de insumos: fertilizantes, defensivos, combustível
• Taxa de câmbio: impacta custos (importações) e receitas (exportações)

Problema Gerencial:

Qual o capital de giro necessário para atravessar o ciclo produtivo sem comprometer a operação?

Relevância da Simulação:

• Métodos determinísticos podem subestimar necessidades de capital
• Monte Carlo permite capturar interações entre múltiplas variáveis incertas
• Possibilita quantificar probabilidades de diferentes cenários

Nota: Os parâmetros utilizados neste exemplo são ilustrativos para fins didáticos apenas.

Fazenda Hipotética:

• Área: 2.000 hectares
• Ciclo: Janeiro (plantio) → Outubro (colheita/venda)
• Custo total: R$ 4.000/hectare

Cronograma de Desembolsos (% do custo total - exemplo típico):

Nota: Os 10% em outubro representam custos de colheita, transporte e comercialização.

Receitas:

• Venda antecipada (janeiro): 30% da produção a preço forward (desconto 5%)
• Venda spot (outubro): 70% da produção restante

Parâmetros Incertos (para fins didáticos):

Correlação Assumida:

• Produtividade × Preço: -0.30 (hipótese: anos de baixa produção → preços mais altos)

Objetivo da Simulação:

Estimar a distribuição do Déficit Máximo (Necessidade de Capital de Giro)

\[ \text{Déficit máximo} = -\min_t\bigl(\mathrm{SA}_t\bigr) \]

➜ Simulação de Monte Carlo (MC)

    • 20 000 cenários de produtividade, preço (correlação –0,30) e custo
    • Resultado: curva de probabilidade da necessidade de caixa ao longo do ciclo

Metodologia:

• A metodologia de simulação segue as diretrizes de Hardaker et al. (2004) para gestão de risco agrícola e implementa os procedimentos de Richardson, Klose e Gray (2000) para simulação Monte Carlo no agronegócio.

⚠️ Importante: Todos os parâmetros são ilustrativos. Em aplicações reais, devem ser calibrados com dados históricos específicos da região e cultura.

O que é o Fluxo de Caixa Acumulado?

• Mês a mês: Receitas - Custos = Fluxo líquido mensal
• Acumulado: Soma progressiva dos fluxos mensais desde janeiro
• Exemplo: Se jan = -100, fev = -50, mar = +200 → Acumulados: -100, -150, +50

Por que o Déficit Máximo é Importante?

✅ Déficit máximo = MAIOR necessidade de caixa durante o ciclo

✅ Representa quanto de capital de giro a fazenda precisa ter disponível

✅ Exemplo prático: Se déficit máximo = R$ 2 milhões, a fazenda precisa de R$ 2 milhões de capital de giro

Interpretação Gerencial:

💡 Insight Principal:

O déficit máximo identifica o pior momento financeiro do ciclo produtivo - exatamente quando mais precisamos de capital de giro!

Por que Simulamos?

Esse valor varia conforme produtividade, preços e custos. A simulação mostra toda a distribuição de necessidades possíveis, não apenas um valor pontual.

Chamamos de Necessidade de Capital de Giro (NCG) o montante máximo de recursos financeiros que a empresa precisa ter disponível para atravessar todo o ciclo produtivo sem interromper suas operações.

Seja

\[ \text{SA}_t = \sum_{k=1}^{t} (\text{Receitas}_k - \text{Custos}_k) \]

o Saldo de Caixa Acumulado até o mês \(t\), obtido somando‐se todos os fluxos líquidos mensais desde o início do ciclo.

A NCG é então definida por

\[ \begin{aligned} \text{NCG} &= -\min_{t}\bigl(\text{SA}_t\bigr) \\[6pt] &= \text{Déficit máximo} \end{aligned} \]

isto é, o valor absoluto do menor (mais negativo) saldo acumulado ao longo de todo o período analisado. \(\text{NCG} = \text{Déficit máximo}\)

• Quando \(\text{SA}_t\) atinge seu ponto mais baixo, temos o déficit máximo.

• Financiar exatamente esse déficit garante que a empresa consiga pagar todas as contas até que as receitas da colheita (ou das vendas) entrem no caixa.

Intuição: pense no saldo acumulado como o nível de água de uma caixa d’água — ele desce conforme você paga insumos e sobe quando recebe pelas vendas. A NCG é a profundidade máxima. Disponibilizar esse volume de recursos (via reservas ou linha de crédito) evita que o nível fique “abaixo de zero” e a operação “seque”.

Precisamos simular 20 mil safras e obter um data frame único com os resultados

Cada simulação (simula_safra()) retorna um data frame de 1 linha com:

• Déficit máximo

• Lucro final

• Produtividade

• Preço final

• Passo 1: Usamos lapply() para repetir a função

lista_resultados <- lapply(1:n_sim, function(x) simula_safra())

• Passo 2: Usamos do.call(rbind, ...) para juntar tudo

resultados <- do.call(rbind, lista_resultados)

• Tudo junto:

resultados <- do.call(rbind, lapply(1:n_sim, function(x) simula_safra()))

• Analogia

Você tem 20.000 envelopes (cada um com um relatório de safra). lapply() preenche os envelopes. do.call(rbind, ...) abre todos e cola numa única planilha com os 20.000 resultados.

Por que não usar sapply()?

• sapply() tenta devolver vetores — bom para números

• Aqui cada item é um data frame → melhor usar lapply(), que devolve lista

• Por que não usar for?

for exige criar um data frame vazio e juntar resultados um a um (ineficiente e suscetível a erros)

Resumo: lapply() + do.call(rbind, ...) é a forma mais elegante de simular milhares de cenários complexos e consolidar os resultados.

# A variável deficit_maximo já está em valores positivos (em reais)
# Converte para milhões para facilitar a leitura
necessidade_capital <- resultados$deficit_maximo / 1000000  # em milhões

# ========================================
# VALIDAÇÃO DO MODELO
# ========================================
correlacao_simulada <- cor(resultados$produtividade, resultados$preco_final)
cat("Correlação obtida entre produtividade e preço:", 
    round(correlacao_simulada, 3), "\n")

Correlação obtida entre produtividade e preço: -0.279 

# ========================================
# ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS
# ========================================
estatisticas_basicas <- data.frame(
  Métrica = c("Necessidade média", "Necessidade máxima", "Desvio-padrão"),
  Valor_Milhoes_R = c(
    round(mean(necessidade_capital), 1),
    round(max(necessidade_capital), 1),
    round(sd(necessidade_capital), 1)
  )
)

# Exibe as estatísticas básicas
estatisticas_basicas

             Métrica Valor_Milhoes_R
1  Necessidade média             4.3
2 Necessidade máxima             6.1
3      Desvio-padrão             0.5

# ========================================
# PERCENTIS PARA PLANEJAMENTO
# ========================================
percentis <- quantile(necessidade_capital, probs = c(0.50, 0.75, 0.90, 0.95))
tabela_percentis <- data.frame(
  Percentil = c("50%", "75%", "90%", "95%"),
  Cenarios_Cobertos = c("50% dos cenários", "75% dos cenários", 
                        "90% dos cenários", "95% dos cenários"),
  Necessidade_Milhoes_R = round(percentis, 1)
)

# Exibe a tabela de percentis
tabela_percentis

    Percentil Cenarios_Cobertos Necessidade_Milhoes_R
50%       50%  50% dos cenários                   4.3
75%       75%  75% dos cenários                   4.6
90%       90%  90% dos cenários                   4.9
95%       95%  95% dos cenários                   5.1

# ========================================
# PROBABILIDADES
# ========================================
probabilidades_risco <- data.frame(
  Limite_Milhoes_R = c(1, 2, 3),
  Probabilidade_Exceder_Pct = c(
    round(mean(necessidade_capital > 1) * 100, 1),
    round(mean(necessidade_capital > 2) * 100, 1),
    round(mean(necessidade_capital > 3) * 100, 1)
  )
)

# Exibe as probabilidades de exceder limites
probabilidades_risco

  Limite_Milhoes_R Probabilidade_Exceder_Pct
1                1                     100.0
2                2                     100.0
3                3                      99.7

Visualização da Distribuição:

💡 Interpretação para Administradores:

• Planejamento Conservador: Use o percentil 95% para garantir cobertura na maioria dos cenários

• Gestão de Risco: Monitore as probabilidades de necessidades extremas (> R$ 2-3 milhões)

• Estratégias Financeiras: Combine linha de crédito + reservas para otimizar custo de capital

              Cenario          Descrição Necessidade_Milhoes_R
1        Cenário Base  Necessidade média                   4.3
2 Cenário Conservador      Percentil 95%                   5.1
3      Cenário Stress Pior caso simulado                   6.1
          Uso_Recomendado
1       Orçamento inicial
2        Linha de crédito
3 Reserva de contingência

Vantagem da Simulação sobre Análise Determinística:

Monte Carlo revela a distribuição completa de necessidades de capital, permitindo:

• Quantificar probabilidades de diferentes cenários
• Otimizar estratégias de financiamento
• Preparar contingências para situações extremas
• Tomar decisões informadas baseadas em risco quantificado

• A margem de erro em Monte Carlo decresce com \(\sqrt{n}\):

\[ \text{EP} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{n}}. \]

• Para probabilidade \(p = P(VPL>0)\), o erro padrão é:

\[ SE(p) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}. \]

Exemplo Prático:

Se \(P(VPL > 0) = 0.75\) com \(n = 10.000\) simulações:

p_estimado <- 0.75
n_simulacoes <- 10000
erro_padrao <- sqrt(p_estimado * (1 - p_estimado) / n_simulacoes)
erro_padrao  # ≈ 0.0043

[1] 0.0043301

# Intervalo de confiança aproximado (95%)
ic_inferior <- p_estimado - 1.96 * erro_padrao  # ≈ 0.741
ic_superior <- p_estimado + 1.96 * erro_padrao  # ≈ 0.759

Interpretação: A probabilidade verdadeira está entre 74.1% e 75.9% com 95% de confiança.

Regras Práticas:

• Duplicar \(n\) reduz o erro em \(\approx 1/\sqrt{2} \approx 0.71\) (melhora de 29%)

• Quadruplicar \(n\) reduz o erro pela metade

• Para erro < 1% em probabilidades: use \(n \geq 10.000\)

• Para erro < 0.1% em probabilidades: use \(n \geq 1.000.000\)

Importância: Garanta \(n\) suficientemente grande para decisões confiáveis, especialmente em contextos financeiros críticos.

⚠️ Principais Limitações:

1. Garbage In, Garbage Out

• Qualidade dos resultados = qualidade dos inputs
• Distribuições mal especificadas geram conclusões errôneas
• Exemplo: assumir normalidade para variáveis que não podem ser negativas

2. Correlações Ignoradas

• Tratar variáveis independentes quando são correlacionadas
• Exemplo: inflação e taxa de juros geralmente se movem juntas

3. Excesso de Confiança

• Resultados podem parecer mais precisos do que realmente são
• “Pseudo-precisão”: 6 casas decimais em estimativas baseadas em opiniões

4. Complexidade Desnecessária

• Usar simulação quando análise simples seria suficiente
• Exemplo: VPL com apenas 1 parâmetro incerto

🎯 Boas Práticas:

✅ Valide as distribuições escolhidas com dados ou especialistas

✅ Teste a sensibilidade dos resultados aos parâmetros

✅ Compare com métodos mais simples quando possível

✅ Documente todas as suposições claramente

✅ Comunique a incerteza inerente às estimativas

Lembre-se: Monte Carlo é uma ferramenta poderosa, mas não substitui o julgamento crítico sobre as suposições do modelo.

• A sintaxe básica da função tq_get() é:

tq_get(x, from = NULL, to = NULL, ...)

Onde:

• x: é um vetor de tickers das ações ou o nome do índice que você deseja obter os dados.

• from: é a data de início para a coleta dos dados (formato “YYYY-MM-DD”).

• to: é a data de término para a coleta dos dados (formato “YYYY-MM-DD”).

A função retorna um data frame com as colunas:

• symbol: é o ticker da ação ou do índice.
• date: é a data da observação.
• open: é o preço de abertura da ação no dia.
• high: é o preço mais alto da ação no dia.
• low: é o preço mais baixo da ação no dia.
• close: é o preço de fechamento da ação no dia.
• volume: é o volume de ações negociadas no dia.

• Propriedades estatísticas mais convenientes:

  • Retornos tendem a ser mais estacionários (comportamento estatístico estável ao longo do tempo)

• Tipos de retornos:

  • Retorno simples: \(R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}}\) (interpretação: percentual de ganho)

  • Retorno logarítmico: \(r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)\) (vantagem matemática: aditividade)

• Aplicação prática: Análise de carteiras de investimento e avaliação de desempenho.

• VaR (Value-at-Risk) foi introduzido pelo banco JP Morgan em 1994, com a metodologia RiskMetrics.

• Objetivo: sintetizar o risco de uma carteira em um único número.

• Motivado pela necessidade de apresentar diariamente, às 16:15, uma medida consolidada de risco.

• Tornou-se uma ferramenta essencial na gestão de riscos e exigência regulatória.

RiskMetrics (JP Morgan)

• Basileia I (1988): foco em risco de crédito, exigência de capital mínimo = 8% dos ativos ponderados pelo risco (RWA).

• Emenda de 1996: introduz uso do VaR para risco de mercado.

• Basileia II (2004): três pilares; VaR incluído no Pilar 1 (exigências de capital).

-Basileia III (2010-2017): amplia exigências, inclui LCR, NSFR, alavancagem, output floor.

• FRTB (2019+): substitui o VaR pelo Expected Shortfall (ES).

• Métodos Paramétricos
• Método Histórico (Não-Paramétrico)
• Método por Simulação de Monte Carlo (Paramétrico ou Não-Paramétrico)

• Um método paramétrico assume que os retornos seguem uma distribuição de probabilidade específica (por exemplo, a distribuição normal).

• Nesse caso, é necessário estimar os parâmetros da distribuição de normal, que no caso da normal são a média (\(\mu\)) e o desvio-padrão (\(\sigma\)).

• Daí o termo “método paramétrico”: os parâmetros da distribuição devem ser estimados a partir dos dados observados.

• O método histórico é um método não-paramétrico, pois utiliza diretamente os retornos históricos observados, sem assumir qualquer distribuição de probabilidade para os retornos.

• Como consequência, não há parâmetros a serem estimados, daí o termo “método não-paramétrico”.

• O método de simulação de Monte Carlo pode ser:

  • Paramétrico: se os retornos são simulados a partir de uma distribuição teórica (por exemplo, normal ou t-Student);

  • Não-paramétrico: se os retornos são simulados por reamostragem com reposição dos retornos históricos (distribuição empírica).

• A escolha do método depende da qualidade dos dados, das hipóteses que se está disposto a fazer e do objetivo da análise de risco.

• Suponha que os retornos diários \(R\) de uma carteira sejam normalmente distribuídos:

\[ R \sim N(\mu, \sigma^2) \]

• A perda monetária associada ao retorno \(R\) é:

\[ L = -R \cdot \vartheta \]

onde \(\vartheta\) é o valor da carteira.

• Cálculo do \(VaR_{(p)}\) com nível de significância \(p\)

• Por definição, o \(VaR_{(p)}\) satisfaz:

\[ P(L > VaR_{(p)}) = p \]

• Substituindo \(L = -R \cdot \vartheta\), temos:

\[ P\left(-R \cdot \vartheta > VaR_{(p)}\right) = p \quad \Rightarrow \quad P\left(R < -\frac{VaR_{(p)}}{\vartheta}\right) = p \]

A probabilidade de a perda monetária exceder \(VaR_{(p)}\) é a mesma que a probabilidade de o retorno cair abaixo de \(-VaR_{(p)} / \vartheta\).

• Fórmula final do VaR paramétrico (normal):

Como \(R \sim N(\mu, \sigma^2)\), temos:

\[ VaR_{(p)} = - (\mu + \Phi^{-1}(1 - p) \cdot \sigma) \cdot \vartheta \]

• \(\Phi^{-1}(1 - p)\): quantil superior da normal padrão (ex: \(\approx 2{,}326\) para \(p = 0{,}01\))
• \(\mu\): retorno médio estimado
  
• \(\sigma\): desvio-padrão dos retornos
  
• \(\vartheta\): valor da carteira

Se foram investidos R$ 100.000,00 em ações da XYZ SA, cuja volatilidade diária (\(\sigma\) = desvio-padão) é de 2% e o retorno médio de 0%. Assumindo que os retornos da ação possam ser modelados por uma distribuição normal. então, o VaR no nível de 5% é:

\[ \begin{align*} VaR(p) &= \Phi^{-1}(1 - p) \cdot \sigma \cdot \vartheta \\ &= \sigma Z_{0.95} \vartheta \\ &= 0.02 (1.6449)(100.000) \\ &= 3289.7 \end{align*} \]

Em R:

sigma <- 0.02
valor_carteira <- 100000
p <- 0.05

var_95 <- sigma*qnorm(1-p)*valor_carteira
var_95

[1] 3289.7

Isto é, o \(VaR_{1, 0.95}\) de 1-dia = R$ 3.289,71 implica que temos 95% de confiança de que a perda da carteira não será superior a R$ 3.289,80 em um dia, ou que temos 5% de chance de que a perda será superior a R$ 3.289,80.

• A curva azul representa o modelo paramétrico assumido, que, nesse caso, é a distribuição normal.

• A curva preta tracejada mostra a distribuição empírica dos retornos observados da ação PETR4.

• O VaR é uma medida de perda potencial: representa o menor retorno (negativo) que será superado com uma pequena probabilidade, como 1%.

• No gráfico, essa perda está localizada à esquerda da média da distribuição normal.

• A área vermelha sob a curva normal corresponde à cauda esquerda com probabilidade \(p = 1\%\), ou seja, há 1% de chance de obter um retorno ainda pior que o VaR.

• A linha vermelha tracejada marca o ponto de corte: o valor do retorno associado ao quantil de 1%, segundo a distribuição normal.

• Em geral, distribuições empíricas de retornos financeiros apresentam caudas mais pesadas (leptocurtose) e assimetria.

• Por isso, a suposição de normalidade pode subestimar o risco de perdas extremas, tornando o VaR paramétrico normal menos conservador que métodos baseados na distribuição empírica.

• O método histórico é uma técnica simples de estimação do risco de perda.
  Baseia-se na hipótese de que o comportamento dos retornos passados se repetirá no futuro próximo.

• O método consiste em ordenar os retornos históricos do pior para o melhor, e identificar o retorno correspondente ao percentil escolhido (por exemplo, 1%).

• O VaR com probabilidade \(p\) é o retorno na posição \(T \times p\) da distribuição empírica, multiplicado pelo valor da carteira:

\[ VaR_t = - y_{(i)} \cdot \vartheta_t, \quad \text{com } i = \lceil T \cdot p \rceil \]

• Onde \(\vartheta_t\) é o valor da carteira no tempo \(t\), dado por:

\[ \vartheta_t = \text{número de ações} \times P_t \]

• Neste exemplo, adotaremos diretamente o valor total da carteira.

• A Simulação de Monte Carlo pode ser aplicada de forma:

  • Paramétrica: assume uma distribuição de probabilidade (ex: normal);
  • Não-paramétrica: utiliza diretamente os dados históricos.

• Neste exemplo, utilizamos a versão não-paramétrica, que realiza uma reamostragem com reposição (bootstrap) dos retornos históricos da ação, sem supor nenhuma forma funcional específica para a distribuição.

• O método consiste em gerar cenários simulados de retornos e estimar o VaR como o quantil empírico correspondente ao nível de probabilidade \(p\).

• Importar os preços da ação PETR4 a partir de 2024-01-01 usando tq_get().

• Calcular os retornos logarítmicos diários:

\[ \text{retorno}_t = \log(P_t) - \log(P_{t-1}) \]

• Definir o valor da carteira e o nível de significância $p$.

• Estimar o VaR via reamostragem empírica com reposição dos retornos históricos.

• A curva preta representa a densidade empírica dos retornos simulados obtidos por reamostragem com reposição (bootstrap).

• A área vermelha representa os 1% piores retornos simulados, ou seja, a cauda esquerda da distribuição com probabilidade \(p = 1%\).

• A linha vermelha tracejada marca o valor do VaR estimado, ou seja, o menor retorno tal que apenas 1% dos retornos sejam ainda piores.

• A linha azul marca a média dos retornos simulados.

• Essa visualização é análoga à do método histórico, pois ambos são não-paramétricos e não impõem suposições de normalidade.

• O VaR com nível de probabilidade \(p\) representa a **pior perda esperada com probabilidade \(1 - p\) de não ser superada.

• Ele é um limite inferior para os piores \(100 \cdot p\%\) retornos negativos (perdas).

• Exemplo: Com \(p = 0.01 = 1\%\), o VaR quantifica a perda que será excedida em média 1 vez a cada 100 dias.

• Limitações:

  • O VaR não é subaditivo;
  • O VaR não mostra o tamanho da perda além do VaR;
  • O Expected Shortfall (ES) é uma medida alternativa que busca superar essas limitações.

• Um número de medidas de risco alternativas tem sido proposta para superar os problemas do VaR (falta de subaditividade entre eles) do VaR e/ou fornecer mais informaçõs sobre a forma da cauda.

O Expected Shortfall (ES), também chamado de Conditional Value-at-Risk (CVaR), é uma medida de risco que estima a perda média esperada, condicionalmente ao evento de que a perda exceda o VaR.

• Ele responde à pergunta: “Qual é perda esperada quando as perdas excedem o VaR?”

• Enquanto o VaR é baseado em um quantil da distribuição de perdas, o ES é definido como o valor esperado condicional das perdas, dado que elas excedem esse quantil:

\[ ES = - E[L \mid L \leq VaR_{(p)}] \]

• O ES é uma medida de risco coerente, satisfazendo os 4 axiomas de Artzner et al. (1999): monotonicidade, subaditividade, homogeneidade positiva e invariância translacional.