A distribuição uniforme contínua no intervalo [0, 1], denotada \(Y \sim U(0,1)\), descreve um fenômeno onde todos os valores do intervalo são igualmente prováveis.

🔹 Propriedades Fundamentais

• O suporte é o intervalo unitário:

\[ Y \in [0, 1] \]

• A fdp é constante:

\[ f(y) = \begin{cases} 1, & \text{se } 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{caso contrário} \end{cases} \]

• A área sob a curva é 1 (como toda função densidade de probabilidade):

  \[ \int_0^1 f(y) \, dy = 1 \]

• Probabilidades são proporcionais ao comprimento do intervalo:

  \[ P(Y \in [a, b]) = b - a, \quad \text{para } 0 \leq a < b \leq 1 \]

📌 Por que ela é importante?

A distribuição \(U(0,1)\) é a base de quase todos os algoritmos de geração de números pseudoaleatórios.

💡 Ideia central: geradores de números aleatórios (como runif() em R) produzem amostras de \(U(0,1)\), e a partir delas é possível gerar amostras de outras distribuições (normal, exponencial, binomial…) por transformações adequadas.

💻 Exemplo em R

➤ Gerando 10 números uniformes no intervalo [0,1]:

set.seed(42)  # para reprodutibilidade
runif(10)

 [1] 0.9148060 0.9370754 0.2861395 0.8304476 0.6417455 0.5190959 0.7365883
 [8] 0.1346666 0.6569923 0.7050648

➤ Visualizando a distribuição com um histograma:

amostra <- runif(10000)
hist(amostra, breaks = 20, col = "steelblue", main = "Distribuição Uniforme U(0,1)",
     xlab = "Amostra gerada", probability = TRUE)

➤ Aproximando \(P(0.2 < Y < 0.5)\):

mean(amostra > 0.2 & amostra < 0.5)  # Aproximação empírica de P(0.2 < Y < 0.5)

[1] 0.2901

📐 Valor exato: \(P(0.2 < Y < 0.5) = 0.5 - 0.2 = 0.3\)

Aplicações

• Base para simulações de Monte Carlo
• Construção de variáveis aleatórias de qualquer outra distribuição
• Geração de amostras aleatórias na prática

Se \(U \sim U(0,1)\), podemos gerar uma variável aleatória \(X\) com distribuição desejada \(F_X\) (distribuição acumulada) usando:

\[ X = F_X^{-1}(U) \]

Esse método é chamado de Transformação Inversa da CDF (ou “inverse transform sampling”).

🔹 Exemplo 1: Gerando variável Exponencial a partir de \(U(0,1)\)

Queremos gerar uma variável \(X \sim \text{Exponencial}(\lambda)\), cuja função de distribuição acumulada (CDF) é:

\[ F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 \]

O método da inversa da CDF nos diz que podemos gerar amostras de \(X\) se:

\[ X = F_X^{-1}(U), \quad \text{com } U \sim \mathcal{U}(0,1) \]

📐 Invertendo a CDF:

Começamos com:

\[ u = F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x} \]

Resolvendo para \(x\):

\[ e^{-\lambda x} = 1 - u \Rightarrow -\lambda x = \ln(1 - u) \Rightarrow x = -\frac{1}{\lambda} \ln(1 - u) \]

🧠 Mas por que usamos \(\ln(U)\) em vez de \(\ln(1 - U)\)?

Como \(U \sim U(0,1)\), então também \(1 - U \sim U(0,1)\). A distribuição é simétrica em torno de 0.5, então qualquer transformação baseada em uma variável uniforme tem a mesma distribuição se feita sobre \(U\) ou \(1 - U\).

💡 Portanto, por conveniência computacional, usamos:

\[ X = -\frac{1}{\lambda} \ln(U) \]

Esse valor segue a mesma distribuição exponencial.

💻 Em R:

# Gerando 10.000 valores da Exponencial(λ) com λ = 2
set.seed(42)
u <- runif(10000)      # Uniforme(0,1)
lambda <- 2
x <- -log(u) / lambda  # Exponencial(λ)

# Visualizando a distribuição
hist(x, breaks = 30, col = "orange", probability = TRUE,
     main = "Exponencial(λ = 2) gerada a partir de U(0,1)",
     xlab = "x")

# Comparando com densidade teórica
curve(dexp(x, rate = lambda), add = TRUE, col = "blue", lwd = 2)
legend("topright", legend = c("Histograma simulado", "Densidade teórica"),
       fill = c("orange", NA), border = NA, lty = c(NA, 1), col = c(NA, "blue"))

✅ Conclusão

• Gerar variáveis exponenciais a partir da uniforme é um exemplo clássico da transformação pela inversa da CDF

• Esse método é uma pedra fundamental dos geradores de variáveis aleatórias na prática

• Essa abordagem é generalizável para outras distribuições, como log-normal, Weibull e até normal (com outras técnicas)

🔹 Exemplo 2: Geração de Normal Padrão

Não existe inversa analítica simples para a CDF da dist. normal padronizada \(\Phi(x)\), mas:

• Pode-se usar aproximações numéricas (função qnorm() em R):

z <- qnorm(runif(10000))  # Z ~ N(0,1)
hist(z, breaks = 30, col = "skyblue", probability = TRUE,
     main = "Normal padrão gerada com qnorm(runif())")
curve(dnorm(x), add = TRUE, col = "darkblue", lwd = 2)

🔹 Conclusão

✅ A distribuição \(U(0,1)\) serve como matéria-prima universal para gerar variáveis aleatórias com qualquer distribuição, via:

• Transformação Inversa (quando possível)
• Métodos numéricos (como qnorm())
• Métodos alternativos: rejeição, Box-Muller, Metropolis-Hastings

Embora ambos envolvam médias amostrais de variáveis aleatórias, eles respondem a perguntas diferentes.

🔹 Lei dos Grandes Números (LGN)

📌 Foco: Convergência da média amostral para o valor esperado.

“Se repetirmos um experimento muitas vezes, a média observada se aproxima da média verdadeira.”

✏️ Matematicamente:

Se \(X_1, \dots, X_n \sim \text{i.i.d.}\) com \(\mu = \mathbb{E}[X_i]\), então:

\[ \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow[]{n \to \infty} \mu \]

✅ Resultado determinístico assintótico: aproximação da média.

🔹 Teorema Central do Limite (TCL)

📌 Foco: Forma da distribuição da média amostral quando \(n\) cresce.

“Mesmo que os dados não sejam normais, a distribuição da média amostral se aproxima da normal.”

✏️ Matematicamente:

Se \(X_1, \dots, X_n \sim \text{i.i.d.}\) com \(\mu\) e \(\sigma^2 < \infty\), então:

\[ \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow[]{d} \mathcal{N}(0,1) \]

✅ Resultado probabilístico: aproximação da forma da distribuição.

🧠 Analogia

• LGN: Diz que a média amostral converge para o valor esperado (média populacional) quando repetimos o processo aleatório muitas vezes.

• TCL: Diz como se comporta a **distribuição* das médias ao longo dessas repetições

💻 Exemplo em R

set.seed(42)
media <- numeric(1000)

for (i in 1:1000) {
  amostra <- rexp(30, rate = 1)  # amostras da exponencial (não normal)
  media[i] <- mean(amostra)
}

hist(media, breaks = 30, probability = TRUE,
     main = "Distribuição da média amostral (~Normal, pelo TCL)",
     col = "lightblue", xlab = "Média das amostras")

curve(dnorm(x, mean = 1, sd = 1/sqrt(30)), col = "darkblue", lwd = 2, add = TRUE)
legend("topright", legend = c("Simulação", "Normal teórica"),
       fill = c("lightblue", NA), border = NA, lty = c(NA, 1), col = c(NA, "darkblue"))

✅ Resumo

Definição: Uma variável aleatória (VA) \(X\) que segue uma distribuição normal tem sua função de densidade de probabilidade dada por:

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

Características principais:

• A função é simétrica em torno da média \(\mu\)
• O valor máximo ocorre em \(x = \mu\)
• A área total sob a curva é igual a 1 (100% de probabilidade)

Parâmetros (Momentos):

• Valor Esperado (Média): \(E[X] = \mu\)
• Variância: \(V[X] = \sigma^2\)
• Desvio-padrão: \(\sigma\)

Notação: \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)

Transformação: Para qualquer \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), podemos criar:

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)\]

Função de densidade da Normal Padronizada: \[ \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}z^2} \]

Parâmetros:

• Média: \(E[Z] = 0\)
• Variância: \(V[Z] = 1\)
• Desvio-padrão: \(\sigma = 1\)

Por que padronizar?

• Facilita cálculos e comparações
• Permite usar tabelas estatísticas padrão
• Base para o conceito de z-score

A probabilidade de Z estar entre -0.98 e 0.14 é a diferença entre as probabilidades acumuladas até esses pontos.

Considere a integral definida de uma função real e limitada \(f\):

\[ I = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Essa integral pode ser interpretada como o valor esperado de \(f\) sob uma variável aleatória \(U \sim U(a, b)\), isto é, uma distribuição uniforme no intervalo \([a, b]\).

Sabemos que:

\[ E[f(U)] = \int_{a}^{b} f(x) \cdot \frac{1}{b - a} \, dx \]

Multiplicando ambos os lados por \((b - a)\), obtemos:

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = (b - a) \cdot E[f(U)] \]

Essa igualdade fornece a base teórica para a integração via Monte Carlo.

Como funciona?

Se \(U_1, \dots, U_N \sim U(a, b)\) forem amostras independentes e identicamente distribuídas (i.i.d), então:

\[ \hat{I}_N = \frac{b - a}{N} \sum_{i=1}^{N} f(U_i) \]

é um estimador não-viesado da integral ( I ), e pela Lei dos Grandes Números:

\[ \hat{I}_N \xrightarrow[]{n \to \infty} \int_a^b f(x) dx \]

Caso particular: Intervalo \([0, 1]\)

Quando \(a = 0\) e \(b = 1\), o fator \((b - a) = 1\), e temos:

\[ \int_{0}^{1} f(x) dx = E[f(U)], \quad \text{com } U \sim U(0,1) \]

Estimamos a integral com:

\[ \hat{I}_N = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f(U_i) \]

Exemplo 1

Para resolver a seguinte integral definida via simulação de Monte Carlo:

\[ \int_{2}^{5} \sin(x)dx \]

basta fazermos:

# fixando a semente do algoritmo
set.seed(2023)

# integracao via SMC

## Gerando amostras uniformes no intervalo [2, 5]
u <- runif(100000, min = 2, max = 5)

## Calculando a média/valor esperado da função seno
(5 - 2)*mean(sin(u))

[1] -0.6999126

Resolvendo analiticamente a integral, verifica-se que o valor exato é -0,7.

# resolvendo numericamente a integral
integrate(sin, 2, 5)

-0.699809 with absolute error < 2.1e-14

Exemplo 2:

Considere a integral:

\[ \int_{0}^{1} \frac{\sin(x(1 - x))}{1 + x + \sqrt{x}} \, dx \]

Esta integral pode ser estimada por Monte Carlo amostrando \(U_i \sim \mathcal{U}(0,1)\) e calculando a média:

# Semente para reprodutibilidade
set.seed(2023)

# Função de interesse
f <- function(x) sin(x*(1 - x)) / (1 + x + sqrt(x))

# Integração via Monte Carlo
u <- runif(100000)
mean(f(u))  # Estimativa da integral

[1] 0.07867095

Podemos comparar com o valor exato (numérico) da integral usando o método adaptativo de quadratura:

integrate(f, 0, 1)

0.07852747 with absolute error < 9.2e-06

Conclusão

• A integração de Monte Carlo transforma um problema determinístico (uma integral) em um problema probabilístico (cálculo de um valor esperado).

• Os limites de integração determinam o intervalo da distribuição uniforme usada para gerar amostras.

• A precisão aumenta com o número de amostras, graças à Lei dos Grandes Números.

Uma distribuição conjunta descreve a probabilidade de diferentes combinações de valores para duas variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\):

• Discreta: \(f(x, y) = P(X = x \cap Y = y)\)
  
• Contínua: \(f(x, y)\) é uma densidade tal que \[ \iint f(x, y)\,dx\,dy = 1 \]

Propriedades:

• \(f(x, y) \geq 0\) para todo \((x, y)\)
  

• \(\sum_x \sum_y f(x, y) = 1\) (no caso discreto)

• Distribuições Marginais

As distribuições marginais mostram o comportamento de uma única variável.

São obtidas a partir da distribuição conjunta somando (ou integrando) sobre a outra variável:

• Para \(X\):

  \[ f_1(x) = \sum_y f(x, y) \quad \text{ou} \quad f_1(x) = \int f(x, y)\,dy \]

• Para \(Y\):

  \[ f_2(y) = \sum_x f(x, y) \quad \text{ou} \quad f_2(y) = \int f(x, y)\,dx \]

Analogia

Pense em uma planilha eletrônica com:

• Linhas = valores de \(X\) (ex: renda)
  
• Colunas = valores de \(Y\) (ex: felicidade)
  
• Cada célula = probabilidade \(P(X = x, Y = y)\)

👉 A distribuição marginal de \(X\) é obtida somando as células linha por linha.

👉 A marginal de \(Y\), somando coluna por coluna.

Assim como na planilha, você pode ver o total de uma linha sem olhar os detalhes da coluna — isso é uma marginal.

A distribuição condicional de \(Y\) dado \(X = x\) é:

\[ f(y \mid x) = \frac{f(x, y)}{f_1(x)} \quad \text{(se } f_1(x) > 0\text{)} \]

Ela representa a probabilidade de \(Y = y\) dado que (ou condicional a) \(X = x\).

Tabela de contingência (distribuição conjunta empírica) entre faixa de renda e felicidade:

Podemos obter:

• Distribuição conjunta: \(P(X = \text{Média} \cap Y = \text{Muita}) = \frac{30}{200} = 0.15\)

• Marginais: \(P(X = \text{Alta}) = \frac{60}{200} = 0.30\)

• Condicional: \(P(Y = \text{Muita} \mid X = \text{Alta}) = \frac{30}{60} = 0.50\)

• Analogia Intuitiva

Esta tabela é como uma planilha populacional:

• Cada célula mostra quantas pessoas estão em uma combinação de renda e felicidade.

• A soma das células mostra o todo (200 pessoas).

Se fixarmos uma coluna (ex: “Alta Renda”), estamos condicionando.

Se as proporções da felicidade forem semelhantes em todas as rendas, podemos suspeitar de independência.

\(X\) e \(Y\) são independentes se:

\[ f(x, y) = f_1(x) \cdot f_2(y) \]

ou seja:

\[ f(y \mid x) = f_2(y), \quad \text{e} \quad f(x \mid y) = f_1(x) \]

Nesse caso, saber o valor de uma variável não altera a distribuição da outra.

• Analogia

Se \(X\) = “renda” e \(Y\) = “felicidade”, independência significa que conhecer a renda de alguém não diz nada sobre sua felicidade, e vice-versa.

• Quando as variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) não são independentes, certos valores de \(X\) tendem a estar associados a certos valores de \(Y\). Ou seja, existe uma relação ou associação entre elas.

• Ao amostrarmos aleatoriamente pares \((X, Y)\) de sua distribuição conjunta de probabilidade, com médias marginais \(\mu_X\) e \(\mu_Y\), dizemos que há uma associação positiva se, em média, o valor de \((X - \mu_X)(Y - \mu_Y)\) é positivo.

Em outras palavras:

• Quando \(X > \mu_X\), geralmente também temos \(Y > \mu_Y\);
• Quando \(X < \mu_X\), geralmente também temos \(Y < \mu_Y\).

Já uma associação negativa ocorre se, em média, o produto \((X - \mu_X)(Y - \mu_Y)\) assume valores negativos — isto é, quando \(X\) está acima da média (\(X > \mu_X\)), tende-se a observar \(Y < \mu_Y\), e vice-versa.

A covariância entre duas variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) tendo \(E(X) = \mu_X\) e \(E(Y) = \mu_Y\) é definida como:

\[ \text{Cov}(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] = E(XY) - E(X)E(Y) \]

Propriedades:

• Simétrica: \(\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X)\)
• \(\text{Cov}(X, Y) > 0\): variáveis tendem a cresce/decrescer juntas
  
• \(\text{Cov}(X, Y) < 0\): uma cresce, a outra decresce, e vice-versa.
• Tem unidade: \(\text{unid}(X) \cdot \text{unid}(Y)\)

A covariância é como a média dos produtos de desvios conjuntos.

A correlação entre uma variável aleatória \(X\), tendo \(E(X) = \mu_X\) e desvio padrão \(\sigma_X\), e uma variável aleatória \(Y\), tendo \(E(Y) = \mu_Y\) e desvio padrão \(\sigma_Y\), é definida como:

\[ \text{Cor}(X, Y) = E\left[ \left( \frac{X - \mu_X}{\sigma_X} \right)\left( \frac{Y - \mu_Y}{\sigma_Y} \right) \right] = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \]

A correlação padroniza a covariância, removendo as unidades e está confinada ao intervalo \([-1, 1]\), podendo fornecer uma medida da força da relação linear entre \(X\) e \(Y\).

Propriedades:

• \(\text{Cor}(X, Y) \in [-1, 1]\)

• \(\pm1\) indica relação linear perfeita

• \(0\) indica ausência de relação linear (mas pode haver relação não linear)

• Adimensional e invariante a transformações lineares de escala

• Covariância fornece a direção da relação linear entre \(X\) e \(Y\), enq

• Correlação mede quão fortemente seus desempenhos se alinham em termos relativos.

É como comparar os desvios padronizados: ambos estão acima da média? quanto?

Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias com variâncias finitas:

\[ Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) \]

Por definição \(V(X) = E(X - E(X))^2\), portanto:

\[ Var(X + Y) = E\left[(X + Y) - E(X + Y))^2 \right] \]

Sabemos que:

\[ E(X + Y) = E(X) + E(Y) \]

Logo:

\[ \begin{aligned} ((X + Y) - E(X + Y))^2 &= (X - E(X) + Y - E(Y))^2 \\ &= (X - E(X))^2 + (Y - E(Y))^2 + 2(X - E(X))(Y - E(Y)) \end{aligned} \]

Tomando o valor esperado:

\[ \begin{aligned} Var(X + Y) &= E[(X - E(X))^2] + E[(Y - E(Y))^2] + 2E[(X - E(X))(Y - E(Y))] \\ &= Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) \end{aligned} \]

• Versão com Correlação

Se \(X\) e \(Y\) têm desvios padrão \(\sigma_X\) e \(\sigma_Y\), e correlação \(\rho_{XY}\):

\[ Var(X + Y) = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\,\rho_{XY} \sigma_X \sigma_Y \]

Se \(X\) e \(Y\) são independentes, então sua densidade conjunta fatoriza:

\[ f(x, y) = f_1(x) f_2(y) \]

Então:

\[ E(XY) = \iint xy f(x, y) \, dx \, dy = \left( \int x f_1(x)\, dx \right) \left( \int y f_2(y)\, dy \right) = E(X) E(Y) \]

Portanto:

\[ \text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 \]

Logo:

\[ \text{corr}(X, Y) = \frac{\text{cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = 0 \]

• Mas o Inverso Não é Verdadeiro

A correlação entre \(X\) e \(Y\) mede a associação linear entre elas:

\[ \rho_{XY} = \frac{E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]}{\sigma_X \sigma_Y} \]

Se \(\rho_{XY} = 0\), então não há relação linear entre \(X\) e \(Y\).
Mas isso não exclui a possibilidade de dependência não linear.

• Independência é Mais Forte

\(X\) e \(Y\) são independentes quando:

\[ f(x, y) = f_1(x) \cdot f_2(y) \quad \text{para todo } x, y \]

Ou seja, qualquer conhecimento sobre \(X\) não altera a distribuição de \(Y\) e vice-versa:

\[ P(Y \mid X) = P(Y) \]

Essa condição elimina toda forma de dependência, linear ou não.

• Exemplo Clássico

Seja \(X \sim U(-1, 1)\) e \(Y = X^2\)

• \(\rho_{XY} = 0\)
• Mas \(Y\) é função determinística de \(X\) ⟹ Dependência total, correlação nula**

Esse é um caso de dependência não linear invisível à correlação.