\[ \begin{align*} Y_i &\sim f(\theta_i,\alpha) \,\,\,\, \text{estocástica} \\ \theta_i &= g(x_i,\beta) \,\,\,\, \text{sistemática} \end{align*} \]

sendo:

• \(Y_i\) = variável aleatória de interesse.

• \(f(\cdot)\) = funçào densidade de probabilidade.

• \(\theta_i\) = uma característica sistemática da densidade (\(f()\)) que varia para cada \(i\).

• \(\alpha\) = característica da densidade (\(f()\)) constante para cada \(i\).

• \(g(\cdot)\) = forma funcional.

• \(x_i\) = vetor de variáveis explicativas para \(i\).

• \(\beta\) = parâmetros de efeitos.

• Use teoria: suponha uma classe de formas funcionais.

• Use dados: Estime os valores dos parâmetros (para selecionar um membro da classe)

• Incerteza permanece: por causa de 1) incerteza das estimativas, 2) incerteza fundamental e 3) dependência do modelo.

Se escolhermos a família errada de formas funcionais:

• Temos erro de especificação e potencialmente viés.

• Ainda obtemos a melhor aproximação [linear, logit, etc] para a forma funcional correta.

• Pode estar próximo ou longe da verdade.

Todas as decisões de modelagem são sobre o Processo Gerador dos Dados (PGD):

• A cadeia de evidências do mundo até a nossa observação dele.

• A primeira pergunta que você faz em todo trabalho empírico.

E se não conhecermos o DGP (e normalmente não conhecemos)?

• O problema: dependência do modelo

• Nossa primeira abordagem: fazer suposições “razoáveis” e verificar o ajuste (e outras implicações observáveis das suposições).

Processo ou fenômeno com resultados incertos, ou seja, não podemos prever o resultado com certeza, mas podemos descrever os possíveis resultados e suas probabilidades.

Por que “experimento”?

• Termo herdado da física/estatística clássica
  
• Implica repetibilidade (condições controláveis)

Sinônimos válidos: Processo estocástico, fenômeno aleatório

Exemplos de “Experimentos” Aleatórios:

• Variação diária da taxa de câmbio Real/Dólar -> \(S = (0, +\infty)\)
• Preço diário da saca de soja no Brasil -> \(S = (0, +\infty)\)
• Retorno de uma ação na B3 -> \(S = (-\infty, +\infty)\)
• Taxa de inadimplência de crédito em uma instituição financeira -> \(S = [0, 1]\) (0% a 100%)

Conjunto de todos os resultados possíveis de um processo aleatório.

• “Retorno ≥ 5%” → \(A = [0.05, +\infty)\) (subconjunto de \(S\))
• “Default” → \(B = \{Sim\}\) (subconjunto de \(\{Sim, Não\}\))

Subconjunto não vazio do espaço amostral (\(S\)), representando perguntas mensuráveis sobre o fenômeno.

Exemplos:

• Mercado financeiro:

  • “Ação valorizar ≥5% amanhã” → \(A = [0.05, +\infty) \subset S\)
    
  • “Taxa SELIC cair no próximo mês” → \(B = \{Sim\} \subset \{Sim, Não\}\)

• Crédito:

  • “Inadimplência em até 2 anos” → \(C = (0, 24] \subset S\) (meses)
    

• Probabilidade Condicional

Sejam \(A\) e \(B\) dois eventos com \(P(B) > 0\). A probabilidade de \(A\) ocorrer dado que \(B\) ocorreu é:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

• Regra do Produto (Multiplicação)

\[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) \]

Essa relação é a base para construção de modelos probabilísticos condicionais.

• Independência de Eventos

Dois eventos ( A ) e ( B ) são independentes se o conhecimento de um não altera a probabilidade do outro:

\[ P(A|B) = P(A) \]

Equivalentemente:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

• Independência Mútua (mais de dois eventos)

Eventos ( A_1, A_2, , A_n ) são mutuamente independentes se para todo subconjunto ( {A_{i_1}, A_{i_2}, , A_{i_k}} ) com ( k ), temos:

\[ P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1}) \cdot P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_k}) \]

⚠️ Importante: Independência par-a-par não implica independência mútua!

Esses conceitos são essenciais para a modelagem estatística e econométrica, em finanças, mas não somente com certeza.

Seja \(S\) o espaço amostral de um processo aleatório, variável aleatária é qualquer função que associa um número a um resultado em \(S\), cujo domínio é o espaço amostral e a imagem são números.

• Discretas: os valores possíveis são discretos. Ex: Número de empresas que fazem uso de técnicas de orçamento de capital.

• Contínuas: infinitos (pelo menos teoricamente) e incontáveis valores possíveis. Ex: Medidas (Peso, massa, preço, retorno, taxa de juros etc.)

• Função de Probabilidade de uma VA Discreta

A funçao de probabilidade de uma VA discreta X é a função \(f: \mathbb{R} \rightarrow [0,1]\) definda por:

\[ p(X = x) = p(x) \]

Condições:

\[ \begin{align*} p(x) &\geq 0, \\ \sum p(x) &= 1 \end{align*} \]

estas condições implicam que \(0 \leq p(x) \leq 1\)

• Função de Probabilidade de uma VA Contínua

A função (densidade) de probabilidade de uma VA contínua X é a função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definda por: \[ \begin{equation*} p(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)dx \end{equation*} \]

Condições:

\[ \begin{align*} f(x) &\geq 0, \\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) &= 1 \end{align*} \]

• É uma função definida para todo \(y\) (resultado possível de uma variável aleatória)

• atribui probabilidades para todo \(y\) (ou intervalo de \(y\)) possível.

Seja \(X\) uma variável aleatória com distribuição de probabilidade desconhecida ou conhecida. Dizemos que \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) formam uma amostra aleatória de tamanho \(n\) da população definida por \(X\) se:

• Cada \(X_i\) possui a mesma distribuição que \(X\):

\[ X_i \sim X \quad \text{(mesma função de distribuição)} \]

• As variáveis ( X_1, X_2, , X_n ) são mutuamente independentes.

Em notação compacta:

\[ X_1, X_2, \ldots, X_n \sim \text{i.i.d. } \sim F_X \]

(i.i.d. = independent and identically distributed)

• Intuição: Por que isso importa?

Imagine coletar dados sobre clientes de um banco. Se a coleta for aleatória e independente, as observações podem ser tratadas como uma amostra aleatória da população de interesse. Isso garante:

• Imparcialidade estatística

• Aplicabilidade de teoremas como a Lei dos Grandes Números e o Teorema Central do Limite

• Validade da inferência (estimação, intervalos, testes)

Conexão com Monte Carlo

Nas simulações de Monte Carlo, cada amostra gerada de uma variável ( U (0,1) ) é um exemplo de variável i.i.d. — uma amostra aleatória!

Exemplo:

Se \(X\) representa o tempo de espera em um call center e sabemos que segue uma distribuição exponencial com média de 5 minutos, então:

amostra_aleatoria <- rexp(10000, rate = 1/5)
head(amostra_aleatoria)

[1] 3.2971254 0.1423412 7.7724356 1.7384721 1.2367716 2.0176016

gera uma amostra aleatória de tamanho 10.000 da população \(X \sim \text{Exponencial}(5)\)

A Lei dos Grandes Números (LGN) afirma que:

📌 Quando repetimos um experimento aleatório muitas vezes de forma independente, a média dos resultados observados se aproxima da média teórica da variável.

🔹 Formulação Matemática

Se \(X_1, X_2, \dots, X_n\) são variáveis aleatórias i.i.d. com valor esperado \(\mu =E[X_i]\), então:

\[ \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \xrightarrow[]{n \to \infty} \mu \]

👉 Isso significa: a média amostral converge para a média populacional.

🧠 Intuição com analogia

Imagine jogar uma moeda honesta milhares de vezes. A proporção de “caras” pode oscilar no começo, mas com o tempo ela estabiliza perto de 0.5.

🎯 A LGN garante esse comportamento para qualquer experimento aleatório com média finita.

💻 Exemplo em R

# Simulando 10.000 lançamentos de moeda (0 = coroa, 1 = cara)
set.seed(42)
lancamentos <- sample(0:1, size = 10000, replace = TRUE)

# Média acumulada
media_acumulada <- cumsum(lancamentos) / (1:10000)

# Gráfico
plot(media_acumulada, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
     main = "Lei dos Grandes Números: Média da moeda converge para 0.5",
     xlab = "Número de lançamentos", ylab = "Média acumulada")
abline(h = 0.5, col = "red", lty = 2)
legend("topright", legend = c("Média acumulada", "Valor esperado"),
       col = c("blue", "red"), lty = c(1, 2), bty = "n")

📌 Por que isso importa?

• Fundamenta os métodos de Simulação de Monte Carlo: estimativas pela média amostral

• Base da indústria de Seguros: permite calcular prêmios com base em médias históricas

Os Princípios fundamentais do processo que gera \(Y_i\) são tais que:

• \(Y_i\) pode assumir 2 resultados mutuamente exclusivos, e;
• Os dois resultados são exaustivos

A função de probabilidade de uma distribuição de Bernoulli é:

\[ P(X = x) = \begin{cases} \pi & \text{se } x = 1 \\ 1 - \pi & \text{se } x = 0 \end{cases} \]

ou, de forma mais compacta:

\[ P(X = x) = p^x(1 - p)^{1 - x} \,\,\, \text{para}\,\, x = {0,1} \]

A distribuição de Bernoulli é uma das distribuições discretas mais simples e fundamentais em estatística, descrevendo um experimento aleatório onde apenas dois resultados são possíveis, geralmente chamados de “sucesso” e “fracasso”, ou “1” e “0”.

Uma distribuição de probabilidade pode conter infinitos valores possíveis de uma VA. Na prática, é impossível analisar cada valor possível de uma VA e suas respectivas probabilidades.

Por isso, precisamos de medidas-resumo que capturem as características essenciais da distribuição em poucos números interpretáveis.

1. Tendência Central: Onde os Dados se Concentram?

• Valor Esperado: Resume em um único número o “centro” da distribuição

2. Variabilidade: Quantificando a Incerteza

• Variância e Desvio-Padrão: Resumem a variabilidade da distribuição em uma medida

3. Forma da Distribuição

• Assimetria e Curtose: Resumem desvios do padrão normal

  • Assimetria: Medida de simetria da distribuição
  • Curtose: Medida de “achatamento” da distribuição
  • Ajudam a quantificar se eventos extremos são mais prováveis que o esperado

Para uma VA Discreta:

\[E[X] = \mu_X = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\]

Para uma VA Contínua:

\[E[X] = \mu_X = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx\]

Exemplo: Lançamento de um dado honesto

\[ \begin{align} E[X] &= \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot P(X = x_i) \\ &= 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + ... + 6 \cdot \frac{1}{6}\\ &= \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \\ &= \frac{21}{6} = 3.5 \end{align} \]

Interpretação: Em média, esperamos obter 3.5 se lançarmos um dado muitas vezes.

• Variância de uma Constante

Se \(c\) é uma constante, então a variância de \(c\) é zero:

\(\boxed{V(c) = 0}\)

• Adição de uma Constante

Se \(X\) é uma variável aleatória e \(c\) é uma constante, a variância de \(X + c\) é igual à variância de \(X\):

\(\boxed{V(X + c) = V(X)}\)

• Variância de uma Constante Multiplicada por uma Variável Aleatória

Para qualquer variável aleatória \(X\) e uma constante \(a\), a variância de \(aX\) é dada por:

\(\boxed{V(aX) = a^2 V(X)}\)

• Variância da Soma de Variáveis Aleatórias

Para variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) não necessariamente independentes, a variância da soma é:

\(\boxed{V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\text{Cov}(X, Y)}\)

onde \(Cov(X, Y)\) é a covariância entre \(X\) e \(Y\).

• Variância da Soma de Variáveis Aleatórias Independentes

Para variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) independentes:

\(\boxed{V(X + Y) = V(X) + V(Y)}\)

• Variância da Diferença de Variáveis Aleatórias Independentes

Para variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) independentes:

\(\boxed{V(X - Y) = V(X) + V(Y)}\)

Coeficiente de Assimetria (Skewness):

\[ \text{Assimetria}(X) = E\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^3\right] \]

Coeficiente de Curtose (Kurtosis):

\[ \text{Curtose}(X) = E\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^4\right] \]

Interpretação:

• Assimetria = 0: distribuição simétrica
• Assimetria à direita (positiva) > 0: cauda mais longa à direita
• Assimetria à esquerda (negativa) < 0: cauda mais longa à esquerda
• Curtose = 3: curtose normal (mesocúrtica)
• Curtose > 3: distribuição mais pontiaguda (leptocúrtica)
• Curtose < 3: distribuição mais achatada (platicúrtica)

• Valor Esperado (Média)

\[ \begin{align} E(Y) &= \sum_{i=1}^{n} x_i P(Y = y_i) \\ &= 0 \times P(Y = 0) + 1 \times P(Y = 1) \\ &= 0 \times (1 - \pi) + 1 \times \pi \\ &= \pi \end{align} \]

• Variância

\[ \begin{align} V(Y) &= E[(Y - E(Y))^2] \,\,\, \text{definição}\\ &= E(Y^2) - E(Y)^2\\ &= E(Y^2) - \pi^2 \end{align} \]

Como podemos calcular \(E(Y^2)\)?

\[ \begin{align} E(g(Y)) &= \sum_{\text{todo y}} g(y)P(Y) \,\,\, \text{(VA discreta)}\\ E(g(Y)) &= \int_{-\infty}^{\infty}g(y)f(y)dy \,\,\, \text{(VA contínua)} \end{align} \]

Em nosso caso:

\[ \begin{align} E(Y^2) &= \sum_{\text{todo y}} g(y)P(Y) \\ &= \sum_{\text{todo y}} Y^2 P(Y) \\ &= 0^2 \times P(Y = 0) + 1^2 \times P(Y = 1) \\ &= 0^2 \times (1 - \pi) + 1^2 \times \pi \\ &= \pi \end{align} \]

Usando o resultado anterior:

\[ \begin{align} V(Y) &= E[(Y - E(Y))^2] \,\,\, \text{definição}\\ &= E(Y^2) - E(Y)^2\\ &= E(Y^2) - \pi^2 \\ &= \pi - \pi^2 \\ &= \pi(1-\pi) \end{align} \]

Isto faz sentido:

• Para uma distribuição de Bernoulli, a máxima dispersão ocorre quando os dois resultados possíveis (sucesso e fracasso) são igualmente prováveis, ou seja, quando \(\pi = 0.5\).

• Isso porque, nesse caso, há a maior incerteza possível sobre o resultado de um ensaio

• A variável aleatória é tão provável de ser 1 quanto é de ser 0, o que maximiza a dispersão dos valores em torno da média.

• Para simular uma variável aleatória com distribuição de Bernoulli em R, você pode usar a função rbinom().

• A distribuição de Bernoulli é um caso especial da distribuição binomial, onde o número de ensaios (\(n\)) é igual a 1.

• A função rbinom() tem três argumentos principais:

• n: número de observações (ou simulações) que você deseja gerar.

• size: número de ensaios, que para uma distribuição de Bernoulli é sempre 1.

• prob: probabilidade de sucesso em cada ensaio.

Para simular uma variável aleatória de Bernoulli com uma probabilidade de sucesso de 0.5 (50%) para 10 observações:

# Fixa a semente para reprodutibilidade
set.seed(123) 

# Simula 10 observações de uma VA Bernoulli
simulacao_bernoulli <- rbinom(n = 10, size = 1, prob = 0.5)
simulacao_bernoulli

 [1] 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0

Os Princípios Primeiros sobre o processo que gera \(Y_i\) são tais que:

• \(n\) ensaios i.i.d de Bernoulli: \(y_1,\ldots,y_n\)
• Os ensaios são indepentendes
• Os ensaios são identicamente distribuídos
• Observamos: \(Y = \sum_{i=1}^{n} y_i\)

Função de Probabilidade

\[ P(Y = y|\pi) = \binom{n}{y} \pi^k (1-\pi)^{n-k} \] Explicação:

• \(\binom{n}{y}\) por que ambos, \((1 0 1)\) e \((1 1 0)\) produzem \(y = 2\)
• \(\pi^y\) porque \(y\) sucessos com probabilidade \(\pi\) cada (produto tomada devido à independência)
• \((1 - \pi)^{n-y}\) porque \(n-y\) fracassos em com probabilidade \((1 - \pi)\) cada.

Momentos:

Valor Esperado (Média): \(E(Y) = n\pi\)

Variância: \(V(Y) = \frac{\pi(1 - \pi)}{n}\)

• Como vimos, podemos usar a função rbinom(), que tem três argumentos principais:

• n: número de observações (ou simulações) que você deseja gerar.

• size: número de ensaios, que para uma distribuição de Bernoulli é sempre 1.

• prob: probabilidade de sucesso em cada ensaio.

Por exemplo, para simular 100 observações de uma variável aleatória Binomial, onde cada observação representa o número de sucessos em 10 ensaios, com uma probabilidade de sucesso de 0.5:

# Fixa a semente para reprodutibilidade
set.seed(123) 

# Simula 100 observações de uma VA Binomial
simulacao_binomial <- rbinom(n = 100, size = 10, prob = 0.5)
simulacao_binomial

  [1] 4 6 5 7 7 2 5 7 5 5 8 5 6 5 3 7 4 2 4 8 7 6 6 9 6 6 5 5 4 3 8 7 6 6 2 5 6
 [38] 4 4 4 3 5 5 4 3 3 4 5 4 7 2 5 6 3 5 4 3 6 7 4 6 3 5 4 6 5 6 6 6 5 6 6 6 0
 [75] 5 4 5 5 4 3 4 6 5 6 3 5 8 7 7 4 3 6 4 6 4 4 6 3 5 5