• Uma rede de supermercados em Formiga seleciona periodicamente funcionários para receber treinamento em gestão.

• Um grupo de funcionárias afirmou recentemente que a empresa seleciona homens a uma taxa desproporcionalmente alta para este treinamento. A empresa negou essa alegação.

• Nos últimos anos, alegações semelhantes de discriminação contra as mulheres foram feitas sobre promoções e salários para mulheres que trabalham para várias empresas.

• Suponha que o grupo potencial de funcionários para treinamento em gestão seja grande e tenha 40% de homens e 60% de mulheres.

• A alegação da empresa de ausência de viés de gênero é uma hipótese de que, outras coisas sendo iguais, a cada escolha, a probabilidade de selecionar um homem é igual a 0,40 e a probabilidade de selecionar uma mulher é igual a 0,60.

• A alegação das mulheres é uma hipótese alternativa de que a probabilidade de selecionar um homem excede 0,40.

• Suponha que na última seleção de funcionários para treinamento em gestão, 9 dos 10 escolhidos eram homens. Nesse caso, podemos ficar inclinados a acreditar na alegação das mulheres.

• No entanto, devido à variação de amostragem, mesmo se selecionados aleatoriamente do grupo de funcionários, não exatamente 40% dos escolhidos precisam ser homens, e talvez 9 homens de 10 escolhidos seja plausível ou provável.

• Para avaliar a questão estatisticamente, devemos analisar se esse resultado de seleção seria improvável, se não houvesse viés de gênero.

A seguir, veremos uma estrutura estatística para testar a alegação das mulheres.

Aleatorização:

A maioria dos testes de significância pressupõe que a coleta de dados empregou aleatorização, como uma amostra aleatória simples ou um experimento aleatorizado.

Tipo de dados

Cada teste de significância se aplica a diferentes tipos de dados, que podem ser numéricos ou categóricos.

Distribuição da População:

Alguns testes de significância pressupõem que a variável tem distribuição populacional que pertence a uma família particular de distribuições de probabilidade, como a distribuição normal ou a distribuição binomial.

Tamanho da amostra:

Alguns testes de significância, como aqueles baseados no Teorema Central do Limite, são válidos somente quando o tamanho da amostra é suficientemente grande. Enquanto outros são válidos, ou tem bom desempenho, em amostras pequenas.

• Os testes de significância têm duas hipóteses sobre distribuições populacionais, geralmente expressas em termos de parâmetros dessas distribuições.

Hipótese Nula \(H_0\)

• A hipótese nula, denotada por \(H_0\), é uma afirmação de que um parâmetro assume um valor particular.

• A hipótese nula é geralmente conservadora, no sentido de que reflete o status quo. Assim, muitas vezes, a hipótese nula assume a forma “nenhuma diferença” ou “nenhum efeito”.

Hipótese Alternativa \(H_A\)

• A hipótese alternativa, denotada por \(H_A\), afirma que o parâmetro assume valor em algum intervalo alternativo.

• A hipótese alternativa reflete alguma suspeita sobre os valores que o parâmetro pode assumir. A \(H_A\) assume uma forma que pode ser interpretada como “há uma diferença” ou “há um efeito”.

Observações

• As hipóteses são formuladas antes da análise dos dados.

• As hipóteses alternativas geralmente são hipóteses que o analista/pesquisador deseja verificar se os dados a suportam, ou não.

• Na seleção de funcionários da rede de supermercados para treinamento em gestão, seja \(p\) a probabilidade de que um funcionário selecionado seja homem.

• No exemplo, a alegação da empresa de que \(p = 0,40\) é um exemplo de uma hipótese nula, ou seja, nenhum efeito referente à discriminação contra as mulheres.

• A hipótese alternativa reflete a crencá das funcionárias de que essa probabilidade excede 0,40.

• O teste de significância, nesse caso, é formulado como:

\[ \begin{cases} H_0: p = 0.40 \\ H_A: p > 0.40 \end{cases} \]

• Repare que \(H_0\) pode assumir um único valor (Hipótese Simples) e \(H_A\) pode assumir um intervalo de valores (Hipótese Composta).

• Os intervalos de valores possíveis para \(H_O\) e \(H_A\) devem ser mutuamente exclusivos, ou seja, não podem se sobrepor.

• Um teste de significância clássico analisa se os dados contradizem \(H_0\), ou não. As opções disponíveis para usar são:

  • rejeitar a hipótese nula (\(H_0\))

  • não rejeitar a hipótese nula (\(H_0\))

• Em testes de significância, usamos uma abordagem similar à prova por contradição: assumimos que \(H_0\) é “verdadeira” e verificamos se os dados fornecem evidências suficientes para rejeitar essa hipótese.

• A prova por contradição é um método lógico em que se assume o contrário do que se quer provar e, através de uma série de deduções lógicas, se chega a uma contradição, provando assim que a suposição inicial estava errada.

• Se rejeitarmos \(H_0\), esta rejeição nos leva a suportar a hipótese alternativa \(H_A\) por meio de uma prova ou evidência indireta (contradição), mas não podemos afirmar diretamente que \(H_A\) é “verdadeira”.

• \(H_0\) é presumida como “verdadeira”. Sob essa presunção, se os dados observados forem muito improváveis, a evidência da amostra suporta \(H_A\).

• Ao testar a potencial discriminação contra as mulheres, presumimos que \(H_0: p = 0,40\) seja “verdadeira” e analisamos se uma proporção amostral de homens igual a \(\hat{p} = 9/10\) seria improvável, sob essa hipótese. Se for, os dados da amostra fornceriam suporte à alegação das mulheres.

• Entretanto, se a diferença entre a proporção amostral, 9/10, e o valor sob \(H_0\) de 0,40 for plausível, ou seja, for devida à variabilidade da amostragem, os dados da amostra forneceriam suporte à alegação da empresa de ausência de discriminação contra as mulheres

• Podemos resumir o quão distante ela se encontra na extremidade da distribuição amostral pela probabilidade de cauda desse valor de estatística de teste e de valores mais extremos.

\[ \text{valor-p} = P(T \geq t \mid H_{0})\,\, \text{teste bilateral} \]

• Esses valores de estatística de teste fornecem pelo menos tanta evidência contra \(H_0\) quanto a estatística de teste observada, na direção prevista pela \(H_A\). Essa probabilidade é chamada de valor-p.

O valor-p é a probabilidade, presumindo que \(H_0\) seja verdadeira, de que a estatística de teste seja igual ou maior que o valor observado na direção prevista por \(H_A\).

• Um pequeno valor-p, como 0,01, significa que é improvável obter uma estatística de teste como a obtida, se \(H_0\) for verdadeira. Como um estatística de teste utiliza dos dados da amostra, podemos dizer, que um pequeno valor-p, como 0,01, signfica que os dados da amostra são improváveis de terem sido observados, se \(H_0\) for verdadeira.

• Um valor-p de moderado a grande, como entre 0,26 e 0,83, significa que os dados são consistentes com \(H_0\); Ou seja, os dados observados não são improvaváveis, se \(H_0\) for verdadeira

Objetivo: Verificar se os dados fornecem evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula (\(H_0\))

• Hipótese Nula (\(H_0\)): Não há efeito ou diferença.
• Hipótese Alternativa ( \(H_A\)): Existe um efeito ou diferença.

Comparação entre Valor-p e o Nível de Significância

• Se valor-p < 0,05: Rejeitamos \(H_0\)
  • Evidência estatisticamente significativa
    
  • Resultado improvável se H₀ fosse verdadeira
• Se valor-p ≥ 0,05: Não rejeitamos \(H_0\)
  • Não há evidência suficiente contra a \(H_0\)
  • O resultado pode ser explicado pelo acaso

⚠️ Observações Importantes

• O valor-p NÃO é a probabilidade de que \(H_0\) seja verdadeira.

• O valor-p É a probabilidade de observar uma estatística de teste tão extrema quanto a obtida, assumindo que a \(H_0\) é verdadeira.

• O limite de 0,05 é uma convenção — pode ser ajustado conforme o contexto (ex: 0,01 em pesquisas médicas críticas).

• O nível de significância de um teste é um número entre 0 e 1, tal que rejeitamos \(H_0\) se o valor-p \(\leq \alpha\), e não rejeitamos \(H_0\) se valor-p \(> \alpha\).

• Os níveis mais comuns são 0.01 (1%), 0.05 (5%) e 0.10 (10%).

• Na prática, é melhor relatar o valor-p do que indicar apenas se \(H_0\) é rejeitada.

• Os valores-p de 0,049 e 0,001 resultam na rejeição de \(H_0\) quando \(\alpha\) = 0,05, mas o segundo caso fornece evidências muito mais fortes.

• Os valores-p de 0,049 e 0,051 fornecem, em termos práticos, a mesma quantidade de evidências sobre H_0.

• Os artigos científicos relatam o valor-p em vez de uma decisão sobre \(H_0\).

• A partir do valor-p, podemos visualizar a força das evidências contra \(H_0\).

• Por causa da variabilidade da amostragem, podemos cometer erros nas conclusões de um teste.

• Os dois erros potenciais são chamados de Erro Tipo I e Erro Tipo II.

• Erro Tipo I: Probabilidade de rejeitar \(H_0\) quando não deveríamos rejeitar \(H_0\), ou seja, quando ela é “verdadeira”.

• É um “falso positivo”: concluir que há um efeito ou diferença quando, na verdade, não há.

• Se \(H_0\) é “verdadeira”, \(P(\text{Erro Tipo 1})\) = \(\alpha\) = nível de significância do teste.

• Fixado na construção dos testes.

• Erro Tipo II: Probabilidade de não rejeitar \(H_0\) quando deveria rejeitar \(H_0\), representada por \(\beta\).

• É um “falso negativo”: não perceber um efeito ou diferença quando ele realmente existe.

• Erro Tipo II decresce na medida que

  • O Erro Tipo I aumenta
  • \(n\) aumenta
  • o “verdadeiro” valor do parâmetro está mais distante do valor sob \(H_0\).

• Não se pode reduzir simultaneamente os dois tipos de erros.

• Na construção dos testes de significância, o erro tipo I é fixado com um valor suficientemente pequeno (1% ou 5% são os mais comuns), então determina-se um método de teste que minimiza o erro tipo II.

Hipóteses

• \(H_0: p_B \leq p_A\)
  
• \(H_1: p_B > p_A\)

Código R

cliques <- c(697, 612)     # B, A
envios  <- c(8200, 8500)   # B, A

prop.test(x = cliques, n = envios, 
          alternative = "greater", 
          correct = FALSE)

    2-sample test for equality of proportions without continuity correction

data:  cliques out of envios
X-squared = 9.76, df = 1, p-value = 0.00089
alternative hypothesis: greater
95 percent confidence interval:
 0.0061495 1.0000000
sample estimates:
prop 1 prop 2 
 0.085  0.072 

Resultado

• Taxa de cliques (A): \(\hat{p}_A = \frac{612}{8500} \approx 7{,}2\%\)

• Taxa de cliques (B): \(\hat{p}_B = \frac{697}{8200} \approx 8,5\%\)

• Valor-p = 0.00089

Conclusão

• Como \(\text{valor-}p< 0{,}05\), rejeitamos a hipótese nula (\(H_0\)).

• Os dados fornecem evidências de que a versão B tem taxa de cliques significativamente maior que a versão A.

• Recomendação: adotar a versão B da linha de assunto.

• Digamos que suspeitamos que temos uma moeda que quando lançada, exibe cara 75% das vezes em vez dos 50% esperados. Assim, resolvemos desenhar um experimento para testar se a moeda é, ou nào, viesada.

• O experimento consiste em lançar a moeda um certo número de vezes e observar a proporção de caras.

• Em seguida, conduziremos um teste de proporção para ver se a proporção de caras é significativamente diferente do que esperaríamos com uma moeda não viesada.

• Julgaremos a significância estatística pelo valor-p. Se o valor-p estiver abaixo de um certo limite, digamos 0,05, concluiremos q ue o comportamento da moeda é inconsistente com o de uma moeda não viesada.

Portanto, o teste de hipóteses do experimento é:

\[ \begin{cases} H_0: p = 0.50 \\ H_A: p > 0.50 \end{cases} \]

• Quantas vezes devemos lançar a moeda para ter um alto poder (probabilidade), digamos 0,80 (80%), de rejeitar corretamente \(H_0: p = 0.50\) se a moeda for realmente viesada para exibir cara 75% das vezes?

Podemos determinar isso usando a função pwr.p.test do pacote pwr:

library(pwr)

pwr.p.test(h = ES.h(p1 = 0.75, p2 = 0.50), # h de Cohen
           sig.level = 0.05,
           power = 0.80,
           alternative = "greater")

     proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 

              h = 0.5236
              n = 22.551
      sig.level = 0.05
          power = 0.8
    alternative = greater

Portanto, seria necessário lançar a moeda pelo menos 23 vezes (tamanhos de amostra são sempre arredondados para o número inteiro superior mais próximo) para ter 80% de poder do teste, ou seja, de probabilidade de rejeitar corretamente a hipótese nula no nível de significância de 0,05 (5%).

O tamanho do efeito (effect size) é inserido no argumento h. O rótulo h é devido a Cohen (1988).

O h de Cohen é uma medida do tamanho do efeito que quantifica a diferença entre duas proporções. Ele transforma as proporções em uma valores \(z\) e calcula a diferença entre esses valores \(z\).

\[ 2 \times asin(\sqrt(p1))-2 \times asin(\sqrt(p2)) \]

• Neste exemplo da proporção de caras, essa é a diferença entre 75% e 50%. Poderíamos dizer que o efeito foi de 25%, mas lembre-se de que tivemos que transformar a diferença absoluta das proporções para outra quantidade usando a função ES.h.

Essa é uma parte crítica do uso correto do pacote pwr: você deve fornecer um tamanho de efeito na escala esperada.

Em caso de dúvida, podemos usar tamanhos de efeito convencionais. Esses são tamanhos de efeito pré-determinados para efeitos

• “pequenos” (small);
• “médios ou moderados” (medium), e;
• “grandes” (large)”

A função cohen.ES retorna um tamanho de efeito convencional para um dado teste. Por exemplo, o tamanho de efeito médio para o teste de proporção é 0,5:

cohen.ES(test="p", size="medium")

     Conventional effect size from Cohen (1982) 

           test = p
           size = medium
    effect.size = 0.5

• Significância Estatística não implica Significância Prática.

Tamanhos de efeito convencionais:

E se assumirmos que o efeito do viés é menor? Isto é, a moeda exibe cara 65% das vezes. Quantos lançamentos precisamos fazer para detectar esse efeito menor sendo \(\alpha = 0,05\), com 80% de poder e a alternativa mais conservadora two.sided?

\[ \begin{cases} H_0: p = 0.50 \\ H_A: p \neq 0.50 \end{cases} \]

pwr.p.test(h = ES.h(p1 = 0.65, p2 = 0.50),
           sig.level = 0.05,
           power = 0.80)

     proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 

              h = 0.30469
              n = 84.544
      sig.level = 0.05
          power = 0.8
    alternative = two.sided

Quanto menor o tamanho do efeito que se deseja “detectar” maior o tamanho de amostra necessário.

Em alguns exercícios, você precisará escrever as hipóteses nula (\(H_0\)) e alternativa (\(H_A\)).

Você pode fazer isso facilmente com LaTeX, a melhor linguagem para escrever matemática, na verdade, é a melhora linguagem para escrever qualquer coisa que precise de formatação.

Modelo Básico:

$$
\begin{cases}
H_0: p_1 = p_2 \\
H_A: p_1 > p_2
\end{cases}
$$

produz:

\[ \begin{cases} H_0: p_1 = p_2 \\ H_A: p_1 > p_2 \end{cases} \]

• $$ ... $$ → abre uma equação centralizada
• \begin{cases} ... \end{cases} → cria um bloco alinhado de hipóteses
• H_0, H_A → índices usando underline _
• p_1, p_2, \mu_1, \mu_2 → parâmetros como proporções ou médias

Sinais Matemáticos Úteis no LaTeX:

Exemplo com \leq:

$$
\begin{cases}
H_0: p_B \leq p_A \\
H_A: p_B > p_A
\end{cases}
$$

produz:

\[ \begin{cases} H_0: p_B \leq p_A \\ H_A: p_B > p_A \end{cases} \]

Esse tipo de hipótese é comum quando queremos mostrar melhoria ou aumento em relação a uma condição atual.

Você pode copiar e adaptar esses modelos nos exercícios!