Uma distribuição de probabilidade contém infinitos pontos de informação. Na prática, é impossível analisar cada valor possível de uma VA e suas respectivas probabilidades.

Por isso, precisamos de medidas-resumo que capturem as características essenciais da distribuição em poucos números interpretáveis.

1. Posição: Onde os Dados se Concentram?

• Valor Esperado: Resume em um único número o “centro” da distribuição

• Transforma infinitas possibilidades em uma métrica gerenciável

2. Variabilidade: Quantificando a Incerteza

• Variância e Desvio-Padrão: Condensam toda a dispersão dos dados em uma medida

• Permitem comparar riscos entre diferentes investimentos ou processos

• Essenciais porque dois processos podem ter mesma média mas riscos totalmente diferentes

3. Forma da Distribuição: Capturando Padrões Não-Simétricos

• Assimetria e Curtose: Resumem desvios do padrão normal
• Identificam se eventos extremos são mais prováveis que o esperado
• Críticos porque muitos fenômenos empresariais não seguem o padrão “normal”

4. Interdependências: Síntese de Relações Complexas

• Covariância e Correlação: Reduzem relações multidimensionais a números interpretáveis

• Permitem decisões de diversificação sem analisar cada cenário possível

Uma empresa está considerando lançar um novo produto. Baseado em pesquisas de mercado, os possíveis lucros mensais são:

Passo 1: Calcular o Valor (Lucro) Esperado

\[ E[L] = 2.000 \times 0.3 + 5.000 \times 0.4 + 8.000 \times 0.3 = 5.200\ \]

Passo 2: Calcular a Variância

Passo 3: Calcular o Desvio-Padrão

\[ \sigma_L = \sqrt{\sigma^2} =\sqrt{5.440.000} \approx 2.333\,\,R\$ \]

Interpretação: O lucro esperado é R$ 5.200 com desvio-padrão de R$ 2.333, indicando uma variabilidade moderada em torno da expectativa.

• Variância de uma Constante

Se \(c\) é uma constante, então a variância de \(c\) é zero:

\(\boxed{V(c) = 0}\)

• Adição de uma Constante

Se \(X\) é uma variável aleatória e \(c\) é uma constante, a variância de \(X + c\) é igual à variância de \(X\):

\(\boxed{V(X + c) = V(X)}\)

• Variância de uma Constante Multiplicada por uma Variável Aleatória

Para qualquer variável aleatória \(X\) e uma constante \(a\), a variância de \(aX\) é dada por:

\(\boxed{V(aX) = a^2 V(X)}\)

• Variância da Soma de Variáveis Aleatórias

Para variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) não necessariamente independentes, a variância da soma é:

\(\boxed{V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\text{Cov}(X, Y)}\)

onde \(Cov(X, Y)\) é a covariância entre \(X\) e \(Y\).

• Variância da Soma de Variáveis Aleatórias Independentes

Para variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) independentes:

\(\boxed{V(X + Y) = V(X) + V(Y)}\)

• Variância da Diferença de Variáveis Aleatórias Independentes

Para variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) independentes:

\(\boxed{V(X - Y) = V(X) + V(Y)}\)

O coeficiente de variação (CV) é uma medida de variabilidade relativa que expressa o desvio-padrão como uma porcentagem da média, permitindo comparações diretas entre variáveis com diferentes escalas ou unidades.

\[ CV = \frac{\sigma}{|\mu|} \times 100\% \]

onde:

• \(\sigma\) = desvio-padrão da variável aleatória
• \(\mu\) = valor esperado (média) da variável aleatória

Características principais:

• Adimensional: Expresso em porcentagem, independe da unidade de medida
• Comparável: Permite comparar variabilidade entre variáveis diferentes
• Interpretação: Quanto maior o CV, maior a variabilidade relativa

Interpretação prática:

• A interpretação da magnitude do CV depende da processo aleatório em estudo, mas geralmente um CV mais alto indica maior variabilidade relativa.

Aplicação em finanças: Útil para comparar riscos relativos de investimentos com diferentes retornos esperados, permitindo identificar qual ativo oferece melhor relação risco-retorno.

Cenário: Um gestor precisa comparar três opções de investimento com características muito diferentes:

Problema: Como comparar o risco relativo entre investimentos com escalas e unidades diferentes?

Solução usando Coeficiente de Variação:

• Ação Tech: \(CV = \frac{6\%}{15\%} \times 100\% = 40\%\)
• Fundo Imobiliário: \(CV = \frac{180}{1.200} \times 100\% = 15\%\)
• Criptomoeda: \(CV = \frac{25}{50} \times 100\% = 50\%\)

Interpretação:

• Fundo Imobiliário: menor risco relativo (15% - baixa variabilidade)
• Ação Tech: risco relativo moderado (40% - alta variabilidade)
• Criptomoeda: maior risco relativo (50% - alta variabilidade)

Conclusão: O coeficiente de variação revela que, proporcionalmente aos seus retornos, o Fundo Imobiliário apresenta o menor risco relativo, seguido pela Ação Tech e, por último, a Criptomoeda.

O Valor-em-Risco (VaR) é uma medida estatística que quantifica o risco de perdas em um investimento ou portfólio durante um período específico, com um determinado nível de confiança.

Definição formal: O VaR de α% é o valor tal que existe apenas α% de probabilidade de a perda exceder esse valor.

Elementos do VaR:

• Horizonte temporal: Período de análise (1 dia, 1 semana, 1 mês)
• Nível de confiança: Tipicamente 95% ou 99%
• Unidade monetária: Valor máximo de perda esperada

Interpretação do VaR de 95%:

“Existe apenas 5% de chance de a perda exceder o valor do VaR”

Aplicações práticas:

• Gestão de risco em bancos e fundos
• Determinação de limites de exposição
• Cálculo de capital regulatório
• Comunicação de risco para investidores

Assumindo que os retornos seguem distribuição normal:

\[ \text{VaR}_\alpha = \mu + z_\alpha \times \sigma \]

onde:

• \(\mu\) = retorno esperado do investimento

• \(\sigma\) = volatilidade (desvio-padrão) dos retornos

• \(z_\alpha\) = quantil da distribuição normal padrão para o nível de confiança α

Para os níveis de confiança mais comuns:

• VaR 95%: \(z_{0.05} = -1.645\) - “Existe apenas 5% de chance de a perda exceder o valor do VaR”

• VaR 99%: \(z_{0.01} = -2.326\) - “Existe apenas 1% de chance de a perda exceder o valor do VaR”

Importante: O sinal negativo indica que estamos interessados na cauda esquerda da distribuição (perdas).

Dados históricos de um fundo de ações:

• Retorno médio mensal: 1.2%
• Volatilidade mensal: 4.5%
• Valor investido: R$ 100.000

Pergunta: Qual o VaR mensal de 95%?

Solução:

\[\text{VaR}_{95\%} = 1.2\% + (-1.645) \times 4.5\%\]

\[\text{VaR}_{95\%} = 1.2\% - 7.4\% = -6.2\%\]

Em valores monetários:

\[\text{VaR}_{95\%} = R\$ 100.000 \times (-6.2\%) = -R\$ 6.200\]

Interpretação: Existe apenas 5% de chance de a perda mensal exceder R$ 6.200.

Coeficiente de Assimetria (Skewness):

\[ \text{Assimetria}(X) = E\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^3\right] \]

Coeficiente de Curtose (Kurtosis):

\[ \text{Curtose}(X) = E\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^4\right] \]

Interpretação:

• Assimetria = 0: distribuição simétrica
• Assimetria à direita (positiva) > 0: cauda mais longa à direita
• Assimetria à esquerda (negativa) < 0: cauda mais longa à esquerda
• Curtose = 3: curtose normal (mesocúrtica)
• Curtose > 3: distribuição mais pontiaguda (leptocúrtica)
• Curtose < 3: distribuição mais achatada (platicúrtica)

VaR Mensal a 95%:

• Percentual: -4.46%
  Significa que há 5% de probabilidade de o portfólio perder mais que 4.46% em um mês.

• Monetário: US$ 11.158,83
  Representa a perda máxima esperada com 95% de confiança para o investimento de US$ 250.000.

VaR Mensal a 99%:

• Percentual: -6.64%
  Indica que há apenas 1% de chance de perdas superiores a 6.64% no mês.

• Monetário: US$ 16.610,78
  Mostra a perda máxima esperada com 99% de confiança.

Comparação:

• O VaR a 99% é maior (em valor absoluto) que o VaR a 95%, como esperado
  → Quanto maior o nível de confiança, maior a perda potencial extrema

• A diferença reflete o trade-off entre:

  • Confiança estatística (99% vs 95%)
  • Magnitude da perda potencial (maior no 99%)

• O VaR negativo indica perda potencial (retorno abaixo da média)

Observação: Esses cálculos assumem distribuição normal dos retornos, o que pode subestimar riscos em eventos extremos.

A covariância \(\text{Cov}(X, Y)\) mede o grau da relação linear entre duas variáveis aleatórias numéricas \(X\) e \(Y\).

\[ \begin{align} \text{Cov}(X, Y) &= E[(X - E(X))(Y - E(Y))] \\\ &= E[(X - \mu_X))(Y - \mu_Y)] \\ &= E(XY) - \mu_X\mu_Y \end{align} \]

Para variáveis aleatórias discretas:

\[ \text{Cov}(X, Y) = \sum_{x} \sum_{y}xyP(x,y) - \mu_X\mu_Y \]

Para variáveis aleatórias contínuas:

\[ \text{Cov}(X, Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu_X)(y - \mu_Y)) f(x, y) \, dx \, dy \]

A correlação \(\rho_{XY}\) é uma medida numérica padronizada (ou normalizada) do grau da relação linear entre duas variáveis aleatórias, indicando tanto a força quanto a direção dessa relação.

\[ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \]

sendo:

• \(\text{Cov}(X, Y)\) a covariância entre \(X\) e \(Y\).
• \(\sigma_X\) o desvio-padrão de \(X\).
• \(\sigma_Y\) o desvio-padrão de \(Y\).

Intervalo

\(-1 \leq \rho_{XY} \leq 1\)

• \(\rho_{XY} = +1\): Correlação positiva perfeita
• \(\rho_{XY} = -1\): Correlação negativa perfeita
• \(\rho_{XY} = 0\): Nenhuma correlação linear

Dados hipotéticos de uma sorveteria durante 5 dias:

Médias:

• Temperatura média: 27.6°C
• Vendas médias: R$ 370

Interpretação da Covariância:

• Se positiva: quando temperatura aumenta, vendas tendem a aumentar
• Se negativa: quando temperatura aumenta, vendas tendem a diminuir
  
• Se zero: não há relacionamento linear entre as variáveis

Diretrizes Clássicas de Cohen (valores absolutos):

• |r| \(\approx\) 0.10: Correlação fraca
• |r| \(\approx\) 0.30: Correlação moderada
• |r| \(\approx\) 0.50: Correlação forte

Observações Importantes:

• Essas diretrizes são pontos de referência gerais, não limites rígidos

• O contexto da análise sempre deve ser considerado na interpretação

• Correlação não implica causalidade!

• A Simulação de Monte Carlo é uma técnica computacional que utiliza amostragem aleatória e estatística para modelar e quantificar o impacto da incerteza e variabilidade em sistemas complexos e processos de tomada de decisão.

• Esses métodos são úteis para a obtenção de soluções numéricas para problemas que são muito complexos para serem resolvidos analiticamente.

• Podemos estar interessados em simular um processo aleatório ou verificar como o comportamento de um processo é alterado quando mudamos determinados parâmetros.

• Métodos de Monte Carlo são usadas extensivamente em Estatística, Física, Engenharia, Economia, Medicina, Administração e em diversas outras áreas.

• Uma simulação de Monte Carlo é baseada no conceito de probabilidade como a frequência relativa de um evento.

• Dado um processo aleatório e algum evento \(A\), a probabilidade \(P(A)\) é estimada repetindo-se o experimento aleatório muitas vezes e calculando-se a proporção de vezes que \(A\) ocorre.

• Seja \(X_1, X_2,\ldots\) uma sequência de variáveis aleatórias, sendo:

\[ X_k = \begin{cases} 1, & \text{se A ocorre na k-ésima repetição} \\ 0, & \text{se A não ocorre na k-ésima repetição} \end{cases} \]

para \(k = 1, 2,\ldots\), então:

\[ \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n} \]

é a proporção de vezes em que \(A\) ocorre em \(n\) repetições.

Para n grande, o método de Monte Carlo estima \(P(A)\) por:

\[ P(A) \approx \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n} \]

• Vejamos um exemplo inicial muito simples.

• Considere simular a probabilidade de que uma moeda honesta resulte “cara” em \(n\) lançamentos. Pode-se fazer uma simulação física apenas jogando uma moeda várias vezes e tomando a proporção de caras para estimar \(P(Caras)\).

• Usando um computador, escolha o número de tentativas n (quanto maior, melhor) e utilize o seguinte comando R:

sample(0:1, n, replace = T)

• O comando faz uma amostragem com reposição de \({0, 1}\), \(n\) vezes de forma que os resultados sejam igualmente prováveis.

• Considerando que \(0\) representa coroa e 1 representa cara, a saída é uma sequência de \(n\) uns e zeros correspondentes a caras e coroas.

• A média da sequência é precisamente a proporção de uns.

Para simular o lançamento de uma moeda justa (processo aleatório) e estimar a \(P(Cara)\) fazemos:

mean(sample(0:1, 100, replace = T))

[1] 0.46

mean(sample(0:1, 1000, replace = T))

[1] 0.481

mean(sample(0:1, 10000, replace = T))

[1] 0.4975

mean(sample(0:1, 100000, replace = T))

[1] 0.49881

mean(sample(0:1, 1000000, replace = T))

[1] 0.499707

A função replicate em R é usada para repetir a execução de uma expressão várias vezes, retornando os resultados em forma de vetor ou matriz.

• Sintaxe:

replicate(n, expr)

• n: Número de vezes que a expressão deve ser repetida.

• expr: A expressão a ser avaliada.

Como usar a função replicate?

• Exemplo Básico:

# Repetir a expressão 5 vezes
resultados <- replicate(5, sample(1:10, 1))
resultados

[1] 4 9 2 9 6

• Neste exemplo, replicate seleciona aleatoriamente 5 números entre 1 e 10 e os retorna em um vetor.

• A função replicate é frequentemente usada em simulações de Monte Carlo para realizar várias simulações independentes.

# cria uma função para simular lucros para alguns cenários que 
# ocorrem com as probabilidades dadas.
simulacao_retorno <- function() {
  sample(c(-200000, 300000, 600000), 
         size = 1, 
         prob = c(0.25, 0.5, 0.25), 
         replace = TRUE)
}

# executa 10.000 simulações/repetiçõs
retornos_simulados <- replicate(10000, simulacao_retorno())

Vantagens da função replicate

• Simplificação do Código: Evita a necessidade de escrever loops explícitos (for) para repetições.

• Eficiência: É geralmente mais eficiente e conciso para tarefas repetitivas.

• Facilidade de Uso: Integra-se facilmente com outras funções em R para análises estatísticas e simulações.