Definição: Uma variável aleatória (VA) \(X\) que segue uma distribuição normal tem sua função de densidade de probabilidade dada por:

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

Características principais:

• A função é simétrica em torno da média \(\mu\)
• O valor máximo ocorre em \(x = \mu\)
• A área total sob a curva é igual a 1 (100% de probabilidade)

Parâmetros (Momentos):

• Valor Esperado (Média): \(E[X] = \mu\)
• Variância: \(V[X] = \sigma^2\)
• Desvio-padrão: \(\sigma\)

Notação: \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)

Transformação: Para qualquer \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), podemos criar:

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)\]

Função de densidade da Normal Padronizada: \[ \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}z^2} \]

Parâmetros:

• Média: \(E[Z] = 0\)
• Variância: \(V[Z] = 1\)
• Desvio-padrão: \(\sigma = 1\)

Por que padronizar?

• Facilita cálculos e comparações
• Permite usar tabelas estatísticas padrão
• Base para o conceito de z-score

A probabilidade de Z estar entre -0.98 e 0.14 é a diferença entre as probabilidades acumuladas até esses pontos.

O score padronizado (z-score) tem aplicações importantes no dia a dia profissional:

\[z = \frac{x - \mu}{\sigma}\]

Por que é útil?

O z-score nos permite comparar valores que estão em escalas completamente diferentes, transformando-os em uma medida comum e interpretável.

Interpretação:

• \(z = 0\): valor igual à média
• \(z = 1\): valor 1 desvio-padrão acima da média
• \(z = -2\): valor 2 desvios-padrão abaixo da média

Situações comuns:

• Concursos públicos: Como comparar notas de Matemática (0-100) com Redação (0-10)?

• Avaliação escolar: Como criar um ranking justo entre diferentes disciplinas?

• Processos seletivos: Como ponderar adequadamente critérios diversos?

Solução: O z-score padroniza todas as medidas, permitindo comparação direta.

Exemplo:

• João: 80 em Matemática (média=70, dp=10) → z = 1.0
• João: 8 em Redação (média=6, dp=1) → z = 2.0
• Conclusão: João teve melhor desempenho relativo em Redação

Colunas da tabela:

• notas: Nota original do aluno (0-100)
• z_score_arred: Quantos desvios-padrão acima/abaixo da média
  • Valores negativos: abaixo da média da turma
  • Valores positivos: acima da média da turma
• nota_relativa: Percentil do aluno na turma (0-100)
  • Interpretação: “Este aluno superou X% dos colegas”

Exemplos de interpretação:

• Aluno 6 (nota 71): z = 1.5, percentil 93.7
  • Está 1.5 desvios-padrão acima da média
  • Nota superior a 93.7% das notas da turma
• Aluno 11 (nota 38): z = -1.4, percentil 7.5
  • Está 1.4 desvios-padrão abaixo da média
  • Apenas 7.5% dos colegas tiveram nota inferior

Vantagem: A função pnorm() converte automaticamente cada z-score no percentil correspondente

Para entender completamente uma distribuição, precisamos de várias medidas:

1. Medidas de tendência central: O “centro” da distribuição

• Valor esperado (média) - foco de hoje
• Mediana e quartis

2. Medidas de dispersão: A variabilidade dos dados

• Variância e desvio-padrão (próxima aula)

3. Medidas de forma: O formato da distribuição

• Assimetria (skewness)
• Curtose (kurtosis)

Aplicação em finanças: Fundamentais para modelar retornos, precificar ativos e quantificar riscos

Definição intuitiva: O valor esperado é o resultado médio que obteríamos se repetíssemos um processo aleatório infinitas vezes

Analogia física: É o “centro de massa” da distribuição de probabilidade

Em termos práticos:

• Em jogos: o ganho/perda médio por jogada a longo prazo
• Em investimentos: o retorno médio esperado
• Em seguros: o valor médio de sinistros

Notação: \(E[X]\), \(\mu_X\) ou simplesmente \(\mu\)

Aplicações principais:

• Base para tomada de decisão racional
• Precificação justa de ativos e contratos
• Avaliação de projetos e investimentos

Para uma VA Discreta: \[E[X] = \mu_X = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\]

Para uma VA Contínua: \[E[X] = \mu_X = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx\]

Exemplo: Lançamento de um dado honesto

\[ \begin{align} E[X] &= \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot P(X = x_i) \\ &= 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + ... + 6 \cdot \frac{1}{6}\\ &= \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \\ &= \frac{21}{6} = 3.5 \end{align} \]

Interpretação: Em média, esperamos obter 3.5 se lançarmos um dado muitas vezes.

Exemplo: Seguro de Automóvel

Dados históricos da seguradora:

• Probabilidade de sinistro por ano: 2% (0.02)
• Indenização média por sinistro: R$ 20.000

Passo 1: Calcular o valor esperado de indenizações

\[E[X] = P(\text{sinistro}) \times \text{Indenização média}\] \[E[X] = 0.02 \times 20.000 = R\$ 400\]

Passo 2: Adicionar margem para custos e lucro (20%)

\[\text{Prêmio} = E[X] \times (1 + \text{margem})\] \[\text{Prêmio} = 400 \times 1.20 = R\$ 480\]

Conclusão: A seguradora deve cobrar R$ 480/ano por apólice