• Decidir sob condições de incerteza é inevitável

  • Qual preço devo estabelecer para um novo produto?
  • Quanto devo investir em marketing digital?
  • Será viável expandir operações para um novo mercado?

• Transformando incerteza em risco gerenciável

  • Incerteza: “Não sei o que pode acontecer nem com que probabilidade”
  • Risco: “Sei o que pode acontecer e com que probabilidade”

• Modelos probabilísticos como ferramenta de decisão

  • Permite quantificar e comparar alternativas sob condições de incerteza
  • Base para simulações e análises de cenários

• Problema: Como modelar matematicamente eventos incertos?

• Solução: Variáveis aleatórias - a ferramenta matemática fundamental para:

  • Quantificar a incerteza em termos de probabilidades
  • Possibilitar o cálculo de valores esperados e riscos
  • Prever possíveis resultados e suas chances de ocorrência

• Definição intuitiva: Uma variável cujo valor resulta de um processo com resultados incertos

• Aplicações na Administração:

  • Previsão de vendas
  • Análise de viabilidade de projetos de investimento
  • Modelagem de comportamento do consumidor
  • Estimativa de tempo de conclusão de projetos

• Variável Aleatória: é uma função que associa um valor numérico a cada resultado possível de um processo aleatório.

• Em termos simples: Um resultado numérico que depende do acaso:

  • Não sabemos qual valor específico ocorrerá
  • Mas conhecemos os possíveis valores e suas probabilidades

• Notação matemática: Geralmente representada por letras maiúsculas \((X, Y, Z)\)

  • O resultado específico é representado pela letra minúscula \((x, y, z)\)
  • Por exemplo: \(X\) é a variável aleatória “preço da ação”
  • \(x =\) R$ 45,80 é um resultado específico dessa variável aleatória

• Exemplo simples: Lançamento de um dado

  • \(X\) = número da face voltada para cima
  • Espaço amostral: \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
  • \(P(X = 4)\) = probabilidade de obter 4 = \(\frac{1}{6}\)

• Variáveis Aleatórias Discretas:

  • Assumem valores discretos (geralmente contáveis)

  • Espaço amostral finito ou infinito contável

  • Exemplos em negócios:

    • Número de vendas por dia: \(S = \{0, 1, 2, 3,\ldots\}\)
    • Quantidade de produtos defeituosos em um lote
    • Número de clientes convertidos

• Variáveis Aleatórias Contínuas:

  • Podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo

  • Espaço amostral infinito não-contável

  • Exemplos em negócios:

    • Tempo de atendimento a um cliente: \(S = [0, \infty)\)
    • Peso de um produto manufaturado
    • Retorno percentual de um investimento: \(S = (-\infty, +\infty)\)

• Importância da distinção: O tipo de variável aleatória determina como calculamos probabilidades e valores esperados

• Laboratório natural para processos aleatórios:
  • Os mercados financeiros geram enormes volumes de dados em tempo real
  • Comportamento dos preços exibe características aleatórias observáveis
• Consequência de múltiplas decisões:
  • Preços refletem decisões de milhares de participantes independentes
  • Comportamento coletivo emerge de ações individuais
• Suporte a teorias importantes:
  • Hipótese de Mercados Eficientes: preços incorporam toda informação disponível
  • Movimentos futuros são essencialmente aleatórios
• Relevância prática:
  • Entender essa aleatoriedade é fundamental para gestão de investimentos
  • Impacto direto em decisões de alocação de capital e gerenciamento de risco
• Ponte com conceitos estatísticos:
  • Distribuições de probabilidade
  • Processo estocástico
  • Séries temporais

• Retornos de ações:

  • Variação percentual no preço de uma ação
  • \(R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}}\)

• Variações de taxas de juros:

  • Mudança na taxa básica definida pelo Banco Central
  • Flutuações em taxas de mercado (CDI, SELIC)

• Preços de opções:

  • Valor de um contrato derivativo
  • Depende de múltiplas variáveis aleatórias (preço do ativo, volatilidade)

• Tempo até default:

  • Período até que um emissor de dívida deixe de pagar

• Hipótese da Eficiência dos Mercados de Capitais:
  • Preços de ativos arriscados incorporam todas as informações disponíveis
  • Mudanças futuras nos preços são imprevisíveis (aleatórias)
• Passeio Aleatório (Random Walk):
  • Modelo matemático que descreve o comportamento dos preços
  • O preço futuro é o preço atual mais uma variação aleatória
  • \(P_{t+1} = P_t + \epsilon_{t+1}\) (onde \(\epsilon_{t+1}\) é um termo aleatório)
• Implicações práticas:
  • Impossibilidade de prever consistentemente movimentos de curto prazo
  • Necessidade de modelagem probabilística para análise de investimentos

• Operador Somatório (\(\sum\)):

  • Na matemática: \(\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_n\)
  • Em palavras: Soma todos os elementos de uma sequência
  • Em R: sum(x) para soma total ou cumsum(x) para soma acumulada
  • Exemplo R: Para o vetor c(3, 7, 2):
    • sum(c(3, 7, 2)) retorna 12 (3+7+2)
    • cumsum(c(3, 7, 2)) retorna c(3, 10, 12) (3, 3+7, 3+7+2)

• Operador Produtório (\(\prod\)):

  • Na matemática: \(\prod_{i=1}^{n} x_i = x_1 \times x_2 \times \ldots \times x_n\)
  • Em palavras: Multiplica todos os elementos de uma sequência
  • Em R: prod(x) para produto total ou cumprod(x) para produto acumulado
  • Exemplo R: Para o vetor c(2, 3, 4):
    • prod(c(2, 3, 4)) retorna 24 (2×3×4)
    • cumprod(c(2, 3, 4)) retorna c(2, 6, 24) (2, 2×3, 2×3×4)

Uma distribuição de probabilidade é uma descrição matemática do comportamento aleatório de uma variável aleatória.

• Para variáveis aleatórias discretas:

  A função de probabilidade (ou função massa de probabilidade) \(p(x)\) deve satisfazer:

  • \(p(x) \geq 0 \text{ para todo } x\)

  • \(\sum_{x \in S} p(x) = 1\)

• Para variáveis aleatórias contínuas:

  A função densidade de probabilidade \(f(x)\) deve satisfazer:

  \[ P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

  Com as propriedades:

  • \(f(x) \geq 0 \text{ para todo } x\) e

    \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 \]

• A função de distribuição acumulada é definida para ambos os tipos:

  \(F(x) = P(X \leq x)\)

  Para variáveis discretas: \(F(x) = \sum_{t \leq x} p(t)\)

  Para variáveis contínuas: \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt\)

• Para variáveis aleatórias discretas: Usamos a função de probabilidade \(P(X = x)\)

  • Atribui probabilidades a cada valor possível
  • Exemplo: Lançamento de um dado justo: \(P(X = 1) = 1/6\)

• Para variáveis aleatórias contínuas: Usamos a função densidade de probabilidade \(f(x)\)

  • A probabilidade é dada pela área sob a curva
  • A probabilidade em um ponto específico é sempre zero
  • Exemplo: Tempo de espera em uma fila, preço de ações

• A chave para entender distribuições:

  • Para VAs discretas: \(P(X = a) = ?\)
  • Para VAs contínuas: \(P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx\)

A função de distribuição acumulada \(F(\cdot)\) de uma VA \(X\) é a função \(F:\mathbb{R} \rightarrow [0,1]\) definida por:

\[ F(a) = P(X \leq a)\,\,\, \text{para} \,\, -\infty \leq a \leq \infty \]

Considere uma VA \(X\) com as seguintes características:

• Distribuição Simétrica: \(X\) segue uma distribuição que é simétrica em torno da sua média.

• Média e Desvio-Padrão: A distribuição normal é definida por dois parâmetros: a média (\(\mu\)) e o desvio-padrão (\(\sigma\)).

• Curva em Forma de Sinos: A distribuição normal é conhecida por sua característica “curva em forma de sino”, onde a maior parte dos dados se concentra em torno da média.

• Regra Empírica: Aproximadamente 68% dos dados estão dentro de um desvio-padrão da média, 95% dentro de dois desvios-padrão, e 99,7% dentro de três desvios-padrão.

• Em Análise de Investimentos:

  • Se os retornos mensais de uma ação seguem uma distribuição normal e têm média 1% e desvio-padrão 2%:
    • ~68% dos meses: retornos entre -1% e 3% (\(\mu \pm 1\sigma\))
    • ~95% dos meses: retornos entre -3% e 5% (\(\mu \pm 2\sigma\))
    • ~99,7% dos meses: retornos entre -5% e 7% (\(\mu \pm 3\sigma\))

• No Gerenciamento de Riscos:

  • Um evento além de 3 desvios-padrão tem apenas 0,3% de chance (1 em ~370 observações)
  • Alertas devem ser configurados para detectar movimentos além de 2-3 desvios-padrão
  • Base para cálculos de Valor em Risco (VaR) paramétrico

• A distribuição normal é frequentemente associada ao matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que fez contribuições significativas ao estudo da distribuição dos erros de medição em astronomia. Por essa razão, a distribuição normal também é conhecida como “distribuição gaussiana”.

• Gauss utilizou essa distribuição para descrever os erros de medições astronômicas, baseando-se no princípio de que a maioria dos erros seria pequena, enquanto erros grandes seriam raros.

• O termo “normal” foi popularizado posteriormente pelo estatístico britânico Francis Galton (1822-1911). Galton utilizou o termo “normal” para descrever a distribuição de características humanas, como altura e peso, que frequentemente seguem uma forma simétrica em torno de uma média. Ele usou o termo “normal” no sentido de “norma” ou “padrão”, sugerindo que essa distribuição era comum ou típica em muitos fenômenos naturais.

• Embora Gauss tenha trabalhado com a distribuição no contexto de erros de medição, foi o trabalho de Galton e outros que consolidou a ideia de que essa distribuição é “normal” ou típica em muitos contextos, incluindo características biológicas e fenômenos sociais, e assim o termo “distribuição normal” tornou-se amplamente aceito.

• Modelagem Direta: Embora muitos processos aleatórios em Administração envolvam variáveis discretas ou condições que não atendem perfeitamente aos requisitos da normalidade (como a simetria da distribuição), a distribuição normal ainda pode servir como uma aproximação útil em diversos contextos.

• Teorema Central do Limite (TCL): A importância principal da distribuição normal é teórica. O TCL afirma que a soma ou média de um grande número de variáveis aleatórias independentes tende a seguir uma distribuição normal, independentemente da distribuição original, o que fundamenta sua ampla aplicação.

• Aplicação Prática: O TCL permite a construção e uso de métodos estatísticos baseados na normalidade, mesmo quando os dados originais não seguem uma distribuição normal.

Para um grande número de \(n\) observações independentes de uma distribuição da população que tenha média \(\mu\) e desvio-padrão finito \(\sigma\), a média amostral tem uma função de probabilbidade que converge para o função de probabilidade de uma distribuição normal padrão à medida que \(n \rightarrow \infty\).

\[ \bar{Y}\overset{d}{\longrightarrow} N(\mu, \frac{\sigma}{n}) \]

• Uma VA \(X\) que segue uma distribuição normal tem sua função de densidade de probabilidade dada por:

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

Explicação:

• A função é simétrica em torno da média \(\mu\).

• O valor máximo da função ocorre em \(x = \mu\).

• A área sob a curva da função é igual a 1, representando a totalidade das probabilidades.

Momentos:

Valor Esperado (Média): \(E[X] = \mu\)

Variância: \(V[X] = \sigma^2\)

Distribuição normal padronizada: \(Z_i = \frac{y_i - \mu}{\sigma} \sim N(\mu = 0, \sigma = 1)\)

\[ \phi(z) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}z^2} \]

Momentos:

\[ E(Y) = 0 \]

\[ V(X) = \sigma^2 = 1 \] \[ \sigma = 1 \]